Сам Ф.

Есеп №1. \q3 Өлшемі

$2n\times 2n$ ұяшықты тақта берілген. Самат тақтаның кейбір ұяшықтарын көк немесе қызыл түске бояйды. Ол жалпы дәл

$k$ ұяшықты бояу керек. Содан кейін Фархат қалған барлық боялмаған ұяшықтарды көк немесе қызыл түске келесі шарттар орындалатындай бояйды:
   әр қатарда және әр бағанда көк және қызыл ұяшықтар саны тең;
   ешқандай қатарда және ешқандай бағанда қатар келген бір түсті үш ұяшық жоқ;
   кез келген екі қатар әртүрлі және кез келген екі баған әртүрлі. (Егер

$r_1$ және

$r_2$ қатарларының бір бағанда жататын әртүрлі түсті екі ұяшығы табылса, ондай

$r_1$ және

$r_2$ қатарларын әртүрлі деп есептейміз. Дәл сол сияқты баған үшін әртүрлі бағандарды анықтаймыз.)
Фархат Саматтың қалай бояғанына қарамастан тақтаны ең көп дегенде бір әдіспен ғана бояй алатындай

$n$ -ге тәуелді ең кіші мүмкін

$k$ санын табыңыз. (Ұяшықты бірінші рет бояғаннан кейін үстінен тағы бояуға болмайды.) ( Сам Ф. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2.

$\Omega$ және

$\Gamma$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады. Осы шеңберлердің центрлері арқылы өтетін түзу

$\Omega$ және

$\Gamma$ -ны, сәйкесінше,

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қияды (мұнда

$P$ және

$Q$ нүктелері

$AB$ -ның бір жағында жатыр әрі

$Q$ нүктесі

$P$ -ға қарағанда

$AB$ -ға жақынырақ орналасқан).

$\delta$ шеңбері

$AB$ кесіндісін

$D$ , ал

$\Gamma$ -ны

$T$ нүктесінде жанайды (мұнда

$\delta$ шеңбері және

$P$ ,

$Q$ нүктелері

$AB$ -ның бір жағында жатыр).

$PD$ түзуі

$\delta$ -ны екінші рет

$K$ , ал

$\Omega$ -ны екінші рет

$L$ нүктесінде қияды.

$\angle QTK=\angle DTL$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №3.

$A$ мен

$B$ ойыншылары координаталық жазықтықта келесі ойын ойнайды. Басында

$A$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын нүктеге жаңғақты жасырады, одан кейін

$B$ ойыншысы сол жаңғақты табуға тырысады. Бір жүрісте

$B$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын әртүрлі үш нүкте таңдайды, одан кейін

$A$ ойыншысы сол үш нүктемен қоса жаңғақ орналасқан нүкте бір шеңбердің бойында жатқанын немесе жатпағанын айтады. Саны шекті жүрістер арқылы

$B$ ойыншысы жаңғақты кепілді түрде таба алады ма? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4.

$A$ мен

$B$ ойыншылары координаталық жазықтықта келесі ойын ойнайды. Басында

$A$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын нүктеге жаңғақты жасырады, одан кейін

$B$ ойыншысы сол жаңғақты табуға тырысады. Бір жүрісте

$B$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын әртүрлі үш нүкте таңдайды, одан кейін

$B$ ойыншысы жаңғақты кепілді түрде таба алады ма? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада