20-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2024 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.  Алфавит состоит из $n$ букв. Слогом назовём любую упорядоченную пару, состоящую из двух не обязательно различных букв. Некоторые слоги считаются неприличными. Словом является любая (конечная или бесконечная) последовательность букв, в которой нет неприличных слогов. Найдите наименьшее возможное количество неприличных слогов, при котором не существует бесконечных слов. ( М. Карпук )
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Окружности $\Omega$ и $\Gamma$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Линия центров этих окружностей пересекает $\Omega$ и $\Gamma$ в точках $P$ и $Q$ соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой $AB$, причём точка $Q$ расположена ближе к этой прямой. По ту же сторону от $AB$ взята окружность $\delta$, касающаяся отрезка $AB$ в точке $D$ и $\Gamma$ в точке $T$. Прямая $PD$ вторично пересекает $\delta$ и $\Omega$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle QTK=\angle DTL$. ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Натуральное число $d$ не является точным квадратом. Для каждого натурального числа $n$ обозначим через $s(n)$ количество единиц среди первых $n$ цифр двоичной записи числа $\sqrt d$ (цифры до запятой тоже учитываются). Докажите, что существует такое натуральное $A$, что при всех натуральных $n\geqslant A$ выполнено неравенство $s(n)>\sqrt{2n}-2$. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(5)

---

Задача №4.  Учитель выдал детям 10 различных положительных чисел. Серёжа вычислил все 45 их попарных сумм; среди них нашлось пять равных чисел. Петя вычислил все 45 их попарных произведений. Какое наибольшее количество из них могли оказаться равными? ( И. Богданов )
комментарий/решение(5)

---

Задача №5.  Дана таблица ${m\times n}$, где $mn$ делится на $6$. В этой таблице полоской назовём любой прямоугольник ${1\times 3}$ или ${3\times 1}$, а доминошкой -- любой прямоугольник ${1\times 2}$ или ${2\times 1}$. Таблицу замостили полосками. Докажите, что поверх этого замощения таблицу можно замостить доминошками так, что в каждой полоске две клетки будут накрыты одной доминошкой и ещё одна -- другой. (При замощении прямоугольники покрывают всю таблицу и не перекрываются между собой.) ( М. Карпук )
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $G$. Среди шести углов $GAB$, $GAC$, $GBA$, $GBC$, $GCA$, $GCB$ есть не менее трёх, каждый из которых не меньше $\alpha$. При каком наибольшем $\alpha$ это могло произойти? ( Н. Седракян, И. Богданов )
комментарий/решение(2)

---