20-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2024 год
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Алфавит состоит из n букв. Слогом назовём любую упорядоченную пару, состоящую из двух не обязательно различных букв. Некоторые слоги считаются неприличными. Словом является любая (конечная или бесконечная) последовательность букв, в которой нет неприличных слогов. Найдите наименьшее возможное количество неприличных слогов, при котором не существует бесконечных слов.
(
М. Карпук
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Окружности Ω и Γ пересекаются в точках A и B. Линия центров этих окружностей пересекает Ω и Γ в точках P и Q соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой AB, причём точка Q расположена ближе к этой прямой. По ту же сторону от AB взята окружность δ, касающаяся отрезка AB в точке D и Γ в точке T. Прямая PD вторично пересекает δ и Ω в точках K и L соответственно. Докажите, что ∠QTK=∠DTL.
(
М. Кунгожин,
И. Богданов,
Сам Ф.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Натуральное число d не является точным квадратом. Для каждого натурального числа n обозначим через s(n) количество единиц среди первых n цифр двоичной записи числа √d (цифры до запятой тоже учитываются). Докажите, что существует такое натуральное A, что при всех натуральных n⩾ выполнено неравенство s(n)>\sqrt{2n}-2.
(
Navid Safaei
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №4. Учитель выдал детям 10 различных положительных чисел. Серёжа вычислил все 45 их попарных сумм; среди них нашлось пять равных чисел. Петя вычислил все 45 их попарных произведений. Какое наибольшее количество из них могли оказаться равными?
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №5. Дана таблица {m\times n}, где mn делится на 6. В этой таблице полоской назовём любой прямоугольник {1\times 3} или {3\times 1}, а доминошкой -- любой прямоугольник {1\times 2} или {2\times 1}. Таблицу замостили полосками. Докажите, что поверх этого замощения таблицу можно замостить доминошками так, что в каждой полоске две клетки будут накрыты одной доминошкой и ещё одна -- другой. (При замощении прямоугольники покрывают всю таблицу и не перекрываются между собой.)
(
М. Карпук
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке G. Среди шести углов GAB, GAC, GBA, GBC, GCA, GCB есть не менее трёх, каждый из которых не меньше \alpha. При каком наибольшем \alpha это могло произойти?
(
Н. Седракян,
И. Богданов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)