20-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2024 год
Комментарий/решение:
Переформулировка условий:
Изначально полностью белую доску $m $ на $n $ каким то образом покрасим в один цвет при этом делая это фигурами $1 \times 3$ или $3 \times 1$. $($ Границы фигур остаются белыми $)$
Докажите что можно перекрасить доску в другой цвет фигурами $1 \times 2$ и $2 \times 1 $ также имеющие белые грани так что: не будет $3$ подряд стоящие клетки $1 \times 1$
\[ \]
Решение:
Б.О.О. $m$ - четное. Теперь мы разобьем задачу на два случая. (i) $n \mid 2$, (ii) $n \nmid 2$
\[ \]
(i) Заполним доску фигурками $2 \times 2.$ $ ($ назовем их квадратами $)$ Теперь назовем полоску хорошой при случае когда две его клетки находятся в квадрате. Заметим что каждая линия входит ровно в 2 квадрата и является хорошей для одного из них.
В таком случае мы можем ставить доминошки в сторону куда смотрит хорошие полоски в каждом квадратике. Не сложно убедиться что данное очевидно работает.
\[ \]
(ii) В данном случае поступим аналогично, но последнюю полосу поделим на доминошки
Допустим мы не смогли сделать как нам хотелось.$($ Используем ту же тактику $)$
По $(i)$ выходит что мы сможем сделать это в прямоугольнике m x n-1 значит $a)$ Данное не получилось в последнем ряду, $b)$ Данное не получилось сделать на стыке с последним рядом
\[ \]
$a)$ Абсурдно. У нас выйдет так как мы поделили данный ряд на доминошки
\[ \]
$b)$ Тоже абсурдно т.к. полоска будет хорошей для квадратика в который он входит
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.