М. Карпук

Задача №1. Алфавит состоит из

$n$ букв. Слогом назовём любую упорядоченную пару, состоящую из двух не обязательно различных букв. Некоторые слоги считаются неприличными. Словом является любая (конечная или бесконечная) последовательность букв, в которой нет неприличных слогов. Найдите наименьшее возможное количество неприличных слогов, при котором не существует бесконечных слов. ( М. Карпук )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №2. Дана таблица

${m\times n}$ , где

$mn$ делится на

$6$ . В этой таблице полоской назовём любой прямоугольник

${1\times 3}$ или

${3\times 1}$ , а доминошкой -- любой прямоугольник

${1\times 2}$ или

${2\times 1}$ . Таблицу замостили полосками. Докажите, что поверх этого замощения таблицу можно замостить доминошками так, что в каждой полоске две клетки будут накрыты одной доминошкой и ещё одна -- другой. (При замощении прямоугольники покрывают всю таблицу и не перекрываются между собой.) ( М. Карпук )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Маша и Витя играют в игру на доске, имеющей форму правильного 1001-угольника. Вначале все вершины доски белые и в одной из них стоит фишка. На каждом ходу Маша называет произвольное натуральное число

$k$ , затем Витя выбирает направление по или против хода часовой стрелки и сдвигает фишку в выбранном направлении на

$k$ вершин. Если в конце хода фишка оказывается в белой вершине, эта вершина закрашивается в красный цвет. Найдите наибольшее количество красных вершин, которого Маша может добиться вне зависимости от действий Вити, если количество ходов не ограничено. ( М. Карпук )
комментарий/решение(2) олимпиада