М. Карпук

Задача №1. Алфавит состоит из $n$ букв. Слогом назовём любую упорядоченную пару, состоящую из двух не обязательно различных букв. Некоторые слоги считаются неприличными. Словом является любая (конечная или бесконечная) последовательность букв, в которой нет неприличных слогов. Найдите наименьшее возможное количество неприличных слогов, при котором не существует бесконечных слов. ( М. Карпук )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №2. Дана таблица ${m\times n}$, где $mn$ делится на $6$. В этой таблице полоской назовём любой прямоугольник ${1\times 3}$ или ${3\times 1}$, а доминошкой -- любой прямоугольник ${1\times 2}$ или ${2\times 1}$. Таблицу замостили полосками. Докажите, что поверх этого замощения таблицу можно замостить доминошками так, что в каждой полоске две клетки будут накрыты одной доминошкой и ещё одна -- другой. (При замощении прямоугольники покрывают всю таблицу и не перекрываются между собой.) ( М. Карпук )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Маша и Витя играют в игру на доске, имеющей форму правильного 1001-угольника. Вначале все вершины доски белые и в одной из них стоит фишка. На каждом ходу Маша называет произвольное натуральное число $k$, затем Витя выбирает направление по или против хода часовой стрелки и сдвигает фишку в выбранном направлении на $k$ вершин. Если в конце хода фишка оказывается в белой вершине, эта вершина закрашивается в красный цвет. Найдите наибольшее количество красных вершин, которого Маша может добиться вне зависимости от действий Вити, если количество ходов не ограничено. ( М. Карпук )
комментарий/решение(2) олимпиада