қазақша
русский20-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2024 год
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Әліппе $n$ әріптен құралған. Буын деп кез келген екі әріптен құралған реттелген әріптер жұбын айтайық (мұнда сол екі әріп әртүрлі болуы міндетті емес). Кейбір буындар әдепсіз болып келеді. Сөз деп, құрамында әдепсіз буыны жоқ, кез келген әріптер тізімін айтамыз (әрптер саны шекті немесе шексіз болуы мүмкін). Кемінде неше әдепсіз буын санында ұзындығы шексіз болатын сөз табылмайды?
(
М. Карпук
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $\Omega$ және $\Gamma$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. Осы шеңберлердің центрлері арқылы өтетін түзу $\Omega$ және $\Gamma$-ны, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды (мұнда $P$ және $Q$ нүктелері $AB$-ның бір жағында жатыр әрі $Q$ нүктесі $P$-ға қарағанда $AB$-ға жақынырақ орналасқан). $\delta$ шеңбері $AB$ кесіндісін $D$, ал $\Gamma$-ны $T$ нүктесінде жанайды (мұнда $\delta$ шеңбері және $P$, $Q$ нүктелері $AB$-ның бір жағында жатыр). $PD$ түзуі $\delta$-ны екінші рет $K$, ал $\Omega$-ны екінші рет $L$ нүктесінде қияды. $\angle QTK=\angle DTL$ екенін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин,
И. Богданов,
Сам Ф.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Натурал $d$ саны толық квадрат емес. Натурал $n$ саны үшін $s(n)$ арқылы $\sqrt d$ \,санының екілік жүйедегі жазылуында алдыңғы $n$ цифрлардың арасында кездесетін бірліктер санын белгілейміз (мұнда екілік жүйедегі үтірге дейінгі цифрлар да есептелінеді). Барлық натурал $n \geqslant A$ үшін ${s(n)>\sqrt{2n}-2}$ болатындай натурал $A$ санының табылатынын дәлелдеңіз.
(
Navid Safaei
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №4. Мұғалім оқушыларға 10 әртүрлі оң сан берді. Сергей екі саннан тұратын барлық 45 жұпты алып, әр жұптағы сандардың қосындысын есептеді. Сонда олардың ішінде өзара тең бес қосынды табылған. Петя екі саннан тұратын барлық 45 жұпты алып, әр жұптағы сандардың көбейтіндісін есептеді. Петя алған көбейтінділердің ішінде ең көп дегенде нешеуі өзара тең болуы мүмкін?
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №5. ${m\times n}$ кестесі берілген, мұнда $mn$ саны $6$-ға бөлінеді. Бұл кестеде кез келген ${1\times 3}$ немесе ${3\times 1}$ өлшемді тіктөртбұрышты жолақ деп, ал кез келген ${1\times 2}$ немесе ${2\times 1}$ өлшемді тіктөртбұрышты домино деп атайық. Кестені жолақтармен төсеп шыққан. Әр жолақтың екі ұяшығы бір доминомен, ал үшінші ұяшығы екінші доминоның бір ұяшығымен жабылатындай етіп, осы төсеудің үстінен тақтаны тағы да доминолармен төсеп шығуға болатынын дәлелдеңіз. (Төсеу кезінде тіктөртбұрыштар кестені толығымен жабады, ал бір бірін жаппайды.)
(
М. Карпук
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $ABC$ үшбұрышының медианалары $G$ нүктесінде қиылысады. Алты $GAB$, $GAC$, $GBA$, $GBC$, $GCA$, $GCB$ бұрыштарының ішінде кемінде үшеуінің әрқайсысы $\alpha$-дан кем емес. $\alpha$-ның қандай ең үлкен мәнінде осындай жағдай орындала алады?
(
Н. Седракян,
И. Богданов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)