Navid Safaei

Задача №1. Найдите все функции

$f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ такие, что для любого действительного числа

$x$ выполнены равенства

$f\left(x+1\right)=1+f(x) \quad \text{и} \quad f\left(x^4-x^2\right)=f(x)^4-f(x)^2.$ (

$\mathbb{R}$ — множество действительных чисел.) ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Многочлен

$Q(x) = k_n x^n + k_{n-1} x^{n-1} + \ldots + k_1 x + k_0$ с действительными коэффициентами назовём мощным, если выполнено равенство

$|k_0| = |k_1| + |k_2| + \ldots + |k_{n-1}| + |k_n|$ , и невозрастающим, если

$k_0 \geq k_1 \geq \ldots \geq k_{n-1} \geq k_n$ .
Пусть для многочлена

$P(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ с ненулевыми действительными коэффициентами, где

$a_d > 0$ , многочлен

$P(x)(x-1)^t(x+1)^s$ является мощным для некоторых неотрицательных целых

$s$ и

$t$ (

$s + t > 0$ ). Докажите, что хотя бы один из многочленов

$P(x)$ и

$(-1)^d P(-x)$ является невозрастающим. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Натуральное число

$d$ не является точным квадратом. Для каждого натурального числа

$n$ обозначим через

$s(n)$ количество единиц среди первых

$n$ цифр двоичной записи числа

$\sqrt d$ (цифры до запятой тоже учитываются). Докажите, что существует такое натуральное

$A$ , что при всех натуральных

$n\geqslant A$ выполнено неравенство

$s(n)>\sqrt{2n}-2$ . ( Navid Safaei )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №4. Пусть

$\mathcal{M} = \mathbb{Q}[x, y, z]$ — множество многочленов с рациональными коэффициентами от трех переменных. Докажите, что для любого ненулевого многочлена

$P \in \mathcal{M}$ существуют такие ненулевые многочлены

$Q, R \in \mathcal{M}$ , что

$R(x^2 y, y^2 z, z^2 x) = P(x, y, z) Q(x, y, z) .$ ( Navid Safaei )
комментарий/решение(4) олимпиада