қазақша
русскийNavid Safaei
Есеп №1. Кез келген нақты $x$ саны үшін $$f\left(x+1\right)=1+f(x) \quad \text{және} \quad f\left(x^4-x^2\right)=f(x)^4-f(x)^2$$ теңдіктерін қанағаттандыратын барлық $f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар. (Бұл жерде $\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны.) ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. Коэффициенттері нақты сандар болатын $Q(x) = k_n x^n + k_{n-1} x^{n-1} + \ldots + k_1 x + k_0$ көпмүшесі үшін $|k_0| = |k_1| + |k_2| + \ldots + |k_{n-1}| + |k_n|$ теңдігі орындалса, ондай көпмүшені қуатты деп атаймыз, ал егер егер $k_0 \geq k_1 \geq \ldots \geq k_{n-1} \geq k_n$ теңсіздіктері орындалса, осы көпмүшені өспелі емес деп атаймыз.
Коэффициенттері нөлге тең емес нақты сандар болатын $P(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ көпмүше үшін $(a_d > 0)$, қандай-да бір бүтін теріс емес $s$ және $t$ $(s + t > 0)$ сандары үшін $P(x)(x-1)^t(x+1)^s$ көпмүшесі қуатты болсын. $P(x)$ және $(-1)^d P(-x)$ көпмүшелерінің кемінде біреуі өспелі емес екенін дәлелдеңіз. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. Натурал $d$ саны толық квадрат емес. Натурал $n$ саны үшін $s(n)$ арқылы $\sqrt d$ \,санының екілік жүйедегі жазылуында алдыңғы $n$ цифрлардың арасында кездесетін бірліктер санын белгілейміз (мұнда екілік жүйедегі үтірге дейінгі цифрлар да есептелінеді). Барлық натурал $n \geqslant A$ үшін ${s(n)>\sqrt{2n}-2}$ болатындай натурал $A$ санының табылатынын дәлелдеңіз. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №4. $\mathcal{M} = \mathbb{Q}[x, y, z]$ арқылы коэффициенттері рационал сан болатын үш айнымалыдан тұратын көпмүшелер жиынын белгілейік. Кез келген нөлге барабар емес $P \in \mathcal{M}$ көпмүшесі үшін $$R(x^2 y, y^2 z, z^2 x)=P(x, y, z) Q(x, y, z)$$ болатындай нөлге барабар емес $Q,R \in \mathcal{M}$ көпмүшелерінің табылатынын дәлелдеңіз. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(4) олимпиада