Navid Safaei

Есеп №1. Кез келген нақты

$x$ саны үшін

$f\left(x+1\right)=1+f(x) \quad \text{және} \quad f\left(x^4-x^2\right)=f(x)^4-f(x)^2$ теңдіктерін қанағаттандыратын барлық

$f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар. (Бұл жерде

$\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны.) ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2. Коэффициенттері нақты сандар болатын

$Q(x) = k_n x^n + k_{n-1} x^{n-1} + \ldots + k_1 x + k_0$ көпмүшесі үшін

$|k_0| = |k_1| + |k_2| + \ldots + |k_{n-1}| + |k_n|$ теңдігі орындалса, ондай көпмүшені қуатты деп атаймыз, ал егер егер

$k_0 \geq k_1 \geq \ldots \geq k_{n-1} \geq k_n$ теңсіздіктері орындалса, осы көпмүшені өспелі емес деп атаймыз.
Коэффициенттері нөлге тең емес нақты сандар болатын

$P(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ көпмүше үшін

$(a_d > 0)$ , қандай-да бір бүтін теріс емес

$s$ және

$t$

$(s + t > 0)$ сандары үшін

$P(x)(x-1)^t(x+1)^s$ көпмүшесі қуатты болсын.

$P(x)$ және

$(-1)^d P(-x)$ көпмүшелерінің кемінде біреуі өспелі емес екенін дәлелдеңіз. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3. Натурал

$d$ саны толық квадрат емес. Натурал

$n$ саны үшін

$s(n)$ арқылы

$\sqrt d$ \,санының екілік жүйедегі жазылуында алдыңғы

$n$ цифрлардың арасында кездесетін бірліктер санын белгілейміз (мұнда екілік жүйедегі үтірге дейінгі цифрлар да есептелінеді). Барлық натурал

$n \geqslant A$ үшін

${s(n)>\sqrt{2n}-2}$ болатындай натурал

$A$ санының табылатынын дәлелдеңіз. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №4.

$\mathcal{M} = \mathbb{Q}[x, y, z]$ арқылы коэффициенттері рационал сан болатын үш айнымалыдан тұратын көпмүшелер жиынын белгілейік. Кез келген нөлге барабар емес

$P \in \mathcal{M}$ көпмүшесі үшін

$R(x^2 y, y^2 z, z^2 x)=P(x, y, z) Q(x, y, z)$ болатындай нөлге барабар емес

$Q,R \in \mathcal{M}$ көпмүшелерінің табылатынын дәлелдеңіз. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(4) олимпиада