XVII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2018 год

Задача №1. В остроугольном треугольнике

$ABC$ на сторонах

$AB$ ,

$BC$ ,

$AC$ соответственно взяты точки

$H$ ,

$L$ ,

$K$ так, что

$CH \perp AB$ ,

$HL \parallel AC$ ,

$HK \parallel BC$ . Пусть

$P$ и

$Q$ — основания высот треугольника

$HBL$ , проведенные из вершин

$H$ и

$B$ соответственно. Докажите, что основания высот треугольника

$AKH$ , проведенные из вершин

$A$ и

$H$ , лежат на прямой

$PQ$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(6)

Задача №2. Найдите все функции

$f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ такие, что для любого действительного числа

$x$ выполнены равенства

$f\left(x+1\right)=1+f(x) \quad \text{и} \quad f\left(x^4-x^2\right)=f(x)^4-f(x)^2.$ (

$\mathbb{R}$ — множество действительных чисел.) ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Дано натуральное

$n$ . Назовём словом последовательность из

$n$ букв алфавита, а расстоянием

$\rho(A, B)$ между словами

$A=a_1a_2\dots a_n$ и

$B=b_1b_2\dots b_n$ -- количество разрядов, в которых они отличаются (то есть количество таких

$i$ , для которых

$a_i\ne b_i$ ). Мы скажем, что слово

$C$ лежит между словами $A$ и $B$ , если

$\rho (A,B)=\rho(A,C)+\rho(C,B)$ . Какое наибольшее количество слов можно выбрать так, чтобы среди любых трёх нашлось слово, лежащее между двумя другими? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №4. Существует ли последовательность натуральных чисел

$a_1,a_2,\ldots$ , в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз, такая, что число

$\tau(na_{n+1}^n+\left(n+1\right)a_n^{n+1})$ делится на

$n$ для любого натурального

$n$ ? (

$\tau(n)$ — количество натуральных делителей числа

$n$ ). ( Сатылханов К. )
комментарий/решение

результаты