қазақша
русский18-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2018 жыл
Есеп №1. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының $AB$, $BC$ және $AC$ қабырғаларынан сәйкесінше $H$, $L$ және $K$ нүктелері ${CH \perp AB}$, ${HL \parallel AC}$ және ${HK \parallel BC}$ болатындай алынған. $P$ және $Q$ нүктелері — $HBL$ үшбұрышының сәйкесінше $H$ және $B$ төбелерінен түсірілген биіктіктер табандары. $AKH$ үшбұрышының $A$ және $H$ төбелерінен түсірілген биіктіктер табандары $PQ$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №2. Кез келген нақты $x$ саны үшін
$$f\left(x+1\right)=1+f(x) \quad \text{және} \quad f\left(x^4-x^2\right)=f(x)^4-f(x)^2$$
теңдіктерін қанағаттандыратын барлық $f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар. (Бұл жерде $\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны.)
(
Navid Safaei
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Натурал $n$ саны берілген. Сөз деп қандай да бір алфавиттің әріптерінен құралған, ұзындығы $n$ болатын әріптер тізбегін айтамыз. Екі $A=a_1a_2 \ldots a_n$ және $B=b_1b_2 \ldots b_n$ сөздерінің $\rho(A, B)$ ара-қашықтығы деп, олардың сәйкес разрядтарындағы айырмашылықтар санын айтамыз (яғни $a_i\ne b_i$ шартын орындайтын $i$-дің жалпы саны).
Егер $\rho (A,B)=\rho(A,C)+\rho(C,B)$ шарты орындалса, онда $C$ сөзі $A$ мен
$B$ сөздерінің арасында жатыр дейміз. Кез келген үш сөздің қандай да біреуі қалған екеуінің арасында жататындай ең көп дегенде қанша сөз таңдауға болады?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Әр натурал сан дәл бір рет қана кездесетін және кез келген натурал $n$ саны үшін $\tau(na_{n+1}^n+\left(n+1\right)a_n^{n+1})$ саны $n$ санына бөлінетіндей $a_1,a_2,\ldots$ натурал сандар тізбегі бар ма? ($\tau(n)$ саны — $n$ санының натурал бөлгіштерінің саны).
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение
комментарий/решение