18-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2018 жыл

Есеп №1. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының

$AB$ ,

$BC$ және

$AC$ қабырғаларынан сәйкесінше

$H$ ,

$L$ және

$K$ нүктелері

${CH \perp AB}$ ,

${HL \parallel AC}$ және

${HK \parallel BC}$ болатындай алынған.

$P$ және

$Q$ нүктелері —

$HBL$ үшбұрышының сәйкесінше

$H$ және

$B$ төбелерінен түсірілген биіктіктер табандары.

$AKH$ үшбұрышының

$A$ және

$H$ төбелерінен түсірілген биіктіктер табандары

$PQ$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(6)

Есеп №2. Кез келген нақты

$x$ саны үшін

$f\left(x+1\right)=1+f(x) \quad \text{және} \quad f\left(x^4-x^2\right)=f(x)^4-f(x)^2$ теңдіктерін қанағаттандыратын барлық

$f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар. (Бұл жерде

$\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны.) ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Натурал

$n$ саны берілген. Сөз деп қандай да бір алфавиттің әріптерінен құралған, ұзындығы

$n$ болатын әріптер тізбегін айтамыз. Екі

$A=a_1a_2 \ldots a_n$ және

$B=b_1b_2 \ldots b_n$ сөздерінің

$\rho(A, B)$ ара-қашықтығы деп, олардың сәйкес разрядтарындағы айырмашылықтар санын айтамыз (яғни

$a_i\ne b_i$ шартын орындайтын

$i$ -дің жалпы саны). Егер

$\rho (A,B)=\rho(A,C)+\rho(C,B)$ шарты орындалса, онда

$C$ сөзі

$A$ мен

$B$ сөздерінің арасында жатыр дейміз. Кез келген үш сөздің қандай да біреуі қалған екеуінің арасында жататындай ең көп дегенде қанша сөз таңдауға болады? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №4. Әр натурал сан дәл бір рет қана кездесетін және кез келген натурал

$n$ саны үшін

$\tau(na_{n+1}^n+\left(n+1\right)a_n^{n+1})$ саны

$n$ санына бөлінетіндей

$a_1,a_2,\ldots$ натурал сандар тізбегі бар ма? (

$\tau(n)$ саны —

$n$ санының натурал бөлгіштерінің саны). ( Сатылханов К. )
комментарий/решение

результаты