XVII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2018 год

Найдите все функции $f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ такие, что для любого действительного числа $x$ выполнены равенства $$f\left(x+1\right)=1+f(x) \quad \text{и} \quad f\left(x^4-x^2\right)=f(x)^4-f(x)^2.$$ ($\mathbb{R}$ — множество действительных чисел.) ( Navid Safaei )

Комментарий/решение

Решение: Для удобства рассмотрим функцию $g(x)=x^4-x^2:$ $f(g(x))=g(f(x)).$ Запишем некоторые свойства $g\ ;$

$\quad 1.$ Существует $C>0,$ что $g(x)\ge -C+1,\ \forall x\in\mathbb R.$

$\quad 2.$ Функция $g$ принимает все значения на луче $[0,+\infty).$

$\quad 3.$ Она четная, при этом строго убывает на $(-\infty,1]$ и строго возрастает на $[1,+\infty).$

Из свойств $1$ и $2$ следует, что $f(g(x))=g(f(x))\ge -C+1\implies f(t)\ge -C+1,\ \forall t\ge 0.$

Заметим, что $f(x)=[x]+f\left(\{x\}\right)\ge [x]-C+1\ge (x-1)-C+1=x-C,$ то есть $f(x)\ge x-C,\ \forall x.$

Лемма: Если $f(x)\ge x-\varepsilon,\ \forall x,$ то $f(x)\ge x-\dfrac{\varepsilon}{2},\ \forall x,$ где $\varepsilon>0.$

Доказательство: Допустим, что $f(x)<x-\dfrac{\varepsilon}{2}$ для некоторого $x,$ но прибавлением $1$ к обеим частям мы можем увеличивать $x$ до достаточно больших величин. Тогда из свойства $3$ получаем $g\left(x-\dfrac{\varepsilon}{2}\right)>g(f(x))=f(g(x))\ge g(x)-\varepsilon\implies 1\ge\dfrac{g(x)-g\left(x-\dfrac{\varepsilon}{2}\right)}{\varepsilon},$ что невозможно, так как справа многочлен со степенью 3 и положительным старшим коэффициентом, а слева константа. $\square$

Подставим в лемму $\varepsilon = C,$ а дальше индукцией выведем, что $\boxed{f(x)\ge x,\ \forall x.}$

Заметим, что $g(f(x))=f(g(x))=f(g(-x))=g(f(-x))\implies$

$(f(x)^2-f(-x)^2)(f(x)^2+f(-x)^2-1)=0\implies | f(x) | = | f(-x) |,$ для всех $|x|>1.$

Если $f(x)=f(-x),$ где $x>2,$ то $f(x+1)=f(-x+1)\implies$

$|f(x+1)|=|f(-x+1)|=|f(x-1)|,$ но $f(x+1)-f(x-1)=-2\implies f(x+1)=-1 \ge x+1,$ что невозможно.

Значит $f(x)=-f(-x),\forall x>2\implies x\le f(x)=-f(-x)\le -(-x)=x\implies f(x)=x,\forall x>2\implies \boxed{f(x)=x,\ \forall x.}$