XVIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2023 год

Задача №1. Внутри трапеции

$ABCD$

$(AD \parallel BC)$ выбрана точка

$M$ , а внутри треугольника

$BMC$ точка

$N$ так, что

$AM \parallel CN$ ,

$BM \parallel DN$ . Докажите, что у треугольников

$ABN$ и

$CDM$ площади равны. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(6)

Задача №2. Дано натуральное

$n$ . В клетчатом квадрате

$2n\times 2n$ каждая клетка покрашена в какой-то из

$4n^2$ цветов (при этом некоторые цвета могли не использоваться). Доминошкой будем называть любой прямоугольник из двух клеток в нашем квадрате. Будем говорить, что доминошка разноцветная, если клетки в ней разных цветов. Пусть

$k$ — количество разноцветных доминошек среди всех доминошек в нашем квадрате. Пусть

$\ell$ — наибольшее целое число такое, что в любом разрезании квадрата на доминошки найдётся хотя бы

$\ell$ разноцветных доминошек. Найдите наибольшее возможное значение выражения

$4\ell - k$ по всем возможным раскраскам квадрата. ( И. Богданов )
комментарий/решение

Задача №3. Пусть

$p$ — простое число. Построим ориентированный граф на

$p$ вершинах, пронумерованных целыми числами от

$0$ до

$p - 1$ . В графе проводится ребро из вершины

$x$ в вершину

$y$ тогда и только тогда, когда

$y$ равно остатку от деления на

$p$ числа

$x^2 + 1$ . Через

$f(p)$ обозначим длину самого длинного ориентированного цикла в этом графе. Докажите, что

$f(p)$ может принимать сколь угодно большие значения. ( Зиманов А. )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$\mathcal{M} = \mathbb{Q}[x, y, z]$ — множество многочленов с рациональными коэффициентами от трех переменных. Докажите, что для любого ненулевого многочлена

$P \in \mathcal{M}$ существуют такие ненулевые многочлены

$Q, R \in \mathcal{M}$ , что

$R(x^2 y, y^2 z, z^2 x) = P(x, y, z) Q(x, y, z) .$ ( Navid Safaei )
комментарий/решение(4)

результаты