XVIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2023 год

Задача №1.  Внутри трапеции $ABCD$ $(AD \parallel BC)$ выбрана точка $M$, а внутри треугольника $BMC$ точка $N$ так, что $AM \parallel CN$, $BM \parallel DN$. Докажите, что у треугольников $ABN$ и $CDM$ площади равны. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(5)

---

Задача №2.  Дано натуральное $n$. В клетчатом квадрате $2n\times 2n$ каждая клетка покрашена в какой-то из $4n^2$ цветов (при этом некоторые цвета могли не использоваться). Доминошкой будем называть любой прямоугольник из двух клеток в нашем квадрате. Будем говорить, что доминошка разноцветная, если клетки в ней разных цветов. Пусть $k$ — количество разноцветных доминошек среди всех доминошек в нашем квадрате. Пусть $\ell$ — наибольшее целое число такое, что в любом разрезании квадрата на доминошки найдётся хотя бы $\ell$ разноцветных доминошек. Найдите наибольшее возможное значение выражения $4\ell - k$ по всем возможным раскраскам квадрата. ( И. Богданов )
комментарий/решение

---

Задача №3.  Пусть $p$ — простое число. Построим ориентированный граф на $p$ вершинах, пронумерованных целыми числами от $0$ до $p - 1$. В графе проводится ребро из вершины $x$ в вершину $y$ тогда и только тогда, когда $y$ равно остатку от деления на $p$ числа $x^2 + 1$. Через $f(p)$ обозначим длину самого длинного ориентированного цикла в этом графе. Докажите, что $f(p)$ может принимать сколь угодно большие значения. ( Зиманов А. )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Пусть $\mathcal{M} = \mathbb{Q}[x, y, z]$ — множество многочленов с рациональными коэффициентами от трех переменных. Докажите, что для любого ненулевого многочлена $P \in \mathcal{M}$ существуют такие ненулевые многочлены $Q, R \in \mathcal{M}$, что $$ R(x^2 y, y^2 z, z^2 x) = P(x, y, z) Q(x, y, z) . $$ ( Navid Safaei )
комментарий/решение(4)

---