22-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2023 жыл

Есеп №1. $ABCD$ $(AD \parallel BC)$ трапециясының ішінде $M$, ал $BMC$ үшбұрышының ішінде $N$ нүктелері $AM \parallel CN$ және $BM \parallel DN$ болатындай алынған. $ABN$ және $CDM$ үшбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіз. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(6)

---

Есеп №2. Натурал $n$ саны берілген. $2n \times 2n$ торлы шаршының әрбір ұяшығы $4n^2$ түстің біреуіне боялған (бірақ та қандай да бір түс қолданбауы мүмкін). Шаршыдағы екі ұяшықтан құралған тіктөртбұрыш фигураны домино деп айтайық. Екі ұяшығы әртүрлі түске боялған доминоны түрлі-түсті домино деп атаймыз.
   $k$ саны — шаршыдағы барлық түрлі-түсті домино саны болсын. Шаршыны толығымен домино фигураларына бөлу кезінде кем дегенде $\ell$ түрлі-түсті домино табылатындай, $\ell$ саны осындай сандардың (доминоға бөлулер кездегі) ең үлкені болсын. Шаршының барлық әртүрлі бояуларында $4\ell-k$ өрнегінің мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыз. ( И. Богданов )
комментарий/решение

---

Есеп №3. $p$ саны — жай сан. $p$ төбесі бар (әр төбесі $0$-ден ${p - 1}$-ге дейін нөмірленген) бағытталған графты салайық. Егер $x^2 + 1$ санын $p$-ға бөлгенде қалдық $y$ санына тең болса, онда осы графта $x$ төбесін $y$ төбесімен қабырғамен қосамыз (басқа жағдайда $x$ және $y$ төбелерін қабырғамен қосуға болмайды). $f(p)$ арқылы осы графтағы ең үлкен бағытталған циклдың ұзындығын белгілейік. $f(p)$ саны ерікті түрде үлкен мәнді қабылдай алатынын дәлелдеңіз. ( Зиманов А. )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. $\mathcal{M} = \mathbb{Q}[x, y, z]$ арқылы коэффициенттері рационал сан болатын үш айнымалыдан тұратын көпмүшелер жиынын белгілейік. Кез келген нөлге барабар емес $P \in \mathcal{M}$ көпмүшесі үшін $$R(x^2 y, y^2 z, z^2 x)=P(x, y, z) Q(x, y, z)$$ болатындай нөлге барабар емес $Q,R \in \mathcal{M}$ көпмүшелерінің табылатынын дәлелдеңіз. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(4)

---