22-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2023 жыл

Есеп №1.

$ABCD$

$(AD \parallel BC)$ трапециясының ішінде

$M$ , ал

$BMC$ үшбұрышының ішінде

$N$ нүктелері

$AM \parallel CN$ және

$BM \parallel DN$ болатындай алынған.

$ABN$ және

$CDM$ үшбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіз. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(6)

Есеп №2. Натурал

$n$ саны берілген.

$2n \times 2n$ торлы шаршының әрбір ұяшығы

$4n^2$ түстің біреуіне боялған (бірақ та қандай да бір түс қолданбауы мүмкін). Шаршыдағы екі ұяшықтан құралған тіктөртбұрыш фигураны домино деп айтайық. Екі ұяшығы әртүрлі түске боялған доминоны түрлі-түсті домино деп атаймыз.

$k$ саны — шаршыдағы барлық түрлі-түсті домино саны болсын. Шаршыны толығымен домино фигураларына бөлу кезінде кем дегенде

$\ell$ түрлі-түсті домино табылатындай,

$\ell$ саны осындай сандардың (доминоға бөлулер кездегі) ең үлкені болсын. Шаршының барлық әртүрлі бояуларында

$4\ell-k$ өрнегінің мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыз. ( И. Богданов )
комментарий/решение

Есеп №3.

$p$ саны — жай сан.

$p$ төбесі бар (әр төбесі

$0$ -ден

${p - 1}$ -ге дейін нөмірленген) бағытталған графты салайық. Егер

$x^2 + 1$ санын

$p$ -ға бөлгенде қалдық

$y$ санына тең болса, онда осы графта

$x$ төбесін

$y$ төбесімен қабырғамен қосамыз (басқа жағдайда

$x$ және

$y$ төбелерін қабырғамен қосуға болмайды).

$f(p)$ арқылы осы графтағы ең үлкен бағытталған циклдың ұзындығын белгілейік.

$f(p)$ саны ерікті түрде үлкен мәнді қабылдай алатынын дәлелдеңіз. ( Зиманов А. )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$\mathcal{M} = \mathbb{Q}[x, y, z]$ арқылы коэффициенттері рационал сан болатын үш айнымалыдан тұратын көпмүшелер жиынын белгілейік. Кез келген нөлге барабар емес

$P \in \mathcal{M}$ көпмүшесі үшін

$R(x^2 y, y^2 z, z^2 x)=P(x, y, z) Q(x, y, z)$ болатындай нөлге барабар емес

$Q,R \in \mathcal{M}$ көпмүшелерінің табылатынын дәлелдеңіз. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(4)

результаты