Зиманов А.

Задача №1. Марат и Алибек играют в игру на бесконечной в обе стороны клетчатой полоске, в которой клетки пронумерованы последовательными целыми числами слева направо (

$\ldots$ ,

$-2,$

$-1,$ 0, 1, 2,

$\ldots$ ). Марат в свой ход ставит один крестик в любую свободную клетку, а Алибек в свой ход ставит нули в любые 2020 свободных клеток. Марат победит, если ему удастся получить такие 4 клетки отмеченные крестиками, что соответствующие номера клеток будут образовывать арифметическую прогрессию. Цель Алибека в этой игре — помешать Марату выиграть. Они ходят по очереди и первым ходит Марат. Сможет ли Марат выиграть как бы ни играл Алибек? ( Зиманов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Марат и Алибек играют в игру на бесконечной в обе стороны клетчатой полоске, в которой клетки пронумерованы последовательными целыми числами слева направо (

$\ldots$ ,

$-2,$

$-1,$ 0, 1, 2,

Задача №3. Докажите, что для любого натурального числа

$m$ существует такое натуральное

$n$ , что любые

$n$ различных точек на плоскости можно разбить на

$m$ непустых множеств, выпуклые оболочки которых будут иметь общую точку.
Выпуклой оболочкой конечного множества

$X$ точек на плоскости называется множество точек, лежащих внутри или на границе хотя бы одного выпуклого многоугольника с вершинами в

$X$ , включая вырожденные, т. е. отрезок и точка считаются выпуклыми многоугольниками. Никакие три вершины выпуклого многоугольника не лежат на одной прямой. Многоугольник содержит свою границу. ( Зиманов А. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №4. Пусть

$p$ — простое число. Построим ориентированный граф на

$p$ вершинах, пронумерованных целыми числами от

$0$ до

$p - 1$ . В графе проводится ребро из вершины

$x$ в вершину

$y$ тогда и только тогда, когда

$y$ равно остатку от деления на

$p$ числа

$x^2 + 1$ . Через

$f(p)$ обозначим длину самого длинного ориентированного цикла в этом графе. Докажите, что

$f(p)$ может принимать сколь угодно большие значения. ( Зиманов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада