Зиманов А.

Задача №1. Марат и Алибек играют в игру на бесконечной в обе стороны клетчатой полоске, в которой клетки пронумерованы последовательными целыми числами слева направо ($\ldots$, $-2,$ $-1,$ 0, 1, 2, $\ldots$). Марат в свой ход ставит один крестик в любую свободную клетку, а Алибек в свой ход ставит нули в любые 2020 свободных клеток. Марат победит, если ему удастся получить такие 4 клетки отмеченные крестиками, что соответствующие номера клеток будут образовывать арифметическую прогрессию. Цель Алибека в этой игре — помешать Марату выиграть. Они ходят по очереди и первым ходит Марат. Сможет ли Марат выиграть как бы ни играл Алибек? ( Зиманов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Марат и Алибек играют в игру на бесконечной в обе стороны клетчатой полоске, в которой клетки пронумерованы последовательными целыми числами слева направо ($\ldots$, $-2,$ $-1,$ 0, 1, 2, $\ldots$). Марат в свой ход ставит один крестик в любую свободную клетку, а Алибек в свой ход ставит нули в любые 2020 свободных клеток. Марат победит, если ему удастся получить такие 4 клетки отмеченные крестиками, что соответствующие номера клеток будут образовывать арифметическую прогрессию. Цель Алибека в этой игре — помешать Марату выиграть. Они ходят по очереди и первым ходит Марат. Сможет ли Марат выиграть как бы ни играл Алибек? ( Зиманов А. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №3. Докажите, что для любого натурального числа $m$ существует такое натуральное $n$, что любые $n$ различных точек на плоскости можно разбить на $m$ непустых множеств, выпуклые оболочки которых будут иметь общую точку.
Выпуклой оболочкой конечного множества $X$ точек на плоскости называется множество точек, лежащих внутри или на границе хотя бы одного выпуклого многоугольника с вершинами в $X$, включая вырожденные, т. е. отрезок и точка считаются выпуклыми многоугольниками. Никакие три вершины выпуклого многоугольника не лежат на одной прямой. Многоугольник содержит свою границу. ( Зиманов А. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №4. Пусть $p$ — простое число. Построим ориентированный граф на $p$ вершинах, пронумерованных целыми числами от $0$ до $p - 1$. В графе проводится ребро из вершины $x$ в вершину $y$ тогда и только тогда, когда $y$ равно остатку от деления на $p$ числа $x^2 + 1$. Через $f(p)$ обозначим длину самого длинного ориентированного цикла в этом графе. Докажите, что $f(p)$ может принимать сколь угодно большие значения. ( Зиманов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада