Зиманов А.

Есеп №1. Марат пен Әлібек екі жаққа шексіз созылған шаршылы жолақта ойын ойнайды. Жолақ шаршылары қатар келген бүтін сандармен солдан оңға қарай нөмірленген (

$\ldots$ ,

$-2,$

$-1,$ 0, 1, 2,

$\ldots$ ). Марат өз жүрісінде кез келген бос шаршыға крест қояды, ал Әлібек өз жүрісінде кез келген 2020 бос шаршыларға нөл қояды. Егер Марат, нөмірлері арифметикалық прогрессия құрайтын төрт крест қойылған шаршылар ала алса, онда ол жеңеді. Әлібектің мақсаты — Маратқа төтеп беру. Олар кезектесіп жүреді, және ойынды Марат бастайды. Әлібектің қалай ойнағанына да қарамастан, Марат осы ойынды ұта алады ма? ( Зиманов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2. Марат пен Әлібек екі жаққа шексіз созылған шаршылы жолақта ойын ойнайды. Жолақ шаршылары қатар келген бүтін сандармен солдан оңға қарай нөмірленген (

$\ldots$ ,

$-2,$

$-1,$ 0, 1, 2,

Есеп №3. Кез келген натурал

$m$ саны үшін келесі шартты қанағаттандыратын натурал

$n$ саны табылатынын дәлелдеңіз: жазықтықтағы кез келген

$n$ әртүрлі нүктені дөңес қабықшаларының ортақ нүктесі болатындай бос емес

$m$ бөлікке бөлуге болады.
Жазықтықтағы шекті

$X$ нүктелер жиынының дөңес қабықшасы деп кемінде бір

$X$ -тің төбелерінен құрылған дөңес көпбұрышының ішінде немесе қабырғаларында орналасқан нүктелер жиынын айтамыз (нүкте немесе кесінді дөңес көпбұрыш деп саналады. Дөңес көпбұрыштың кез келген үш төбесі бір түзудің бойында жатпайды және дөңес көпбұрыш өзінің шекарасын қамтиды). ( Зиманов А. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №4.

$p$ саны — жай сан.

$p$ төбесі бар (әр төбесі

$0$ -ден

${p - 1}$ -ге дейін нөмірленген) бағытталған графты салайық. Егер

$x^2 + 1$ санын

$p$ -ға бөлгенде қалдық

$y$ санына тең болса, онда осы графта

$x$ төбесін

$y$ төбесімен қабырғамен қосамыз (басқа жағдайда

$x$ және

$y$ төбелерін қабырғамен қосуға болмайды).

$f(p)$ арқылы осы графтағы ең үлкен бағытталған циклдың ұзындығын белгілейік.

$f(p)$ саны ерікті түрде үлкен мәнді қабылдай алатынын дәлелдеңіз. ( Зиманов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада