Республиканская олимпиада по математике, 2020 год, 11 класс
Задача №1. Найдите все такие пары (m,n) натуральных чисел, что n4 | 2m5−1 и m4 | 2n5+1. Запись a | b обозначает, что a делит b.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите все функции f:R+→R+ такие, что для любых x,y∈R+ верно равенство:
f(x)f(y)=f(xyxf(x)+y).
R+ обозначает множество положительных действительных чисел.
(
Болатов А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. На медиане CM треугольника ABC отмечена точка N так, что MN⋅MC=AB2/4. Прямые AN и BN вторично пересекают описанную окружность △ABC в точках P и Q, соответственно. R — точка отрезка PQ, ближайшая к Q, такая что ∠NRC=∠BNC; S — точка отрезка PQ, ближайшая к P, такая что ∠NSC=∠ANC. Докажите, что RN=SN.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Марат и Алибек играют в игру на бесконечной в обе стороны клетчатой полоске, в которой клетки пронумерованы последовательными целыми числами слева направо (…, −2, −1, 0, 1, 2, …). Марат в свой ход ставит один крестик в любую свободную клетку, а Алибек в свой ход ставит нули в любые 2020 свободных клеток. Марат победит, если ему удастся получить такие 4 клетки отмеченные крестиками, что соответствующие номера клеток будут образовывать арифметическую прогрессию. Цель Алибека в этой игре — помешать Марату выиграть. Они ходят по очереди и первым ходит Марат. Сможет ли Марат выиграть как бы ни играл Алибек?
(
Зиманов А.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)