Республиканская олимпиада по математике, 2020 год, 11 класс

Найдите все функции $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ такие, что для любых $x, y \in \mathbb{R}^+$ верно равенство: \[f(x) f(y) = f \left( \frac{xy}{x f(x) + y} \right).\] $\mathbb{R}^+$ обозначает множество положительных действительных чисел. ( Болатов А. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $f \equiv 1$ и $f(x) \equiv \dfrac{c}{x} + 1$, где $c > 0$ — произвольная константа.
Решение. Пусть $g : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ такая функция, что $g(x) = f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ для любого $x > 0$. Тогда при подстановке $\left(\dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{y}\right)$ в условие имеем, что \[P(x, y) : g(x) g(y) = g(y g(x) + x).\] Предположим, что существует число $t > 0$ такое, что $g(t) < 1$. Тогда \[P\left(t, \frac{t}{1 - g(t)}\right) : g(t) = 1\] --- противоречие. Значит, $g(x) \ge 1$ для любого $x > 0$.
Пусть $a > b > 0$ — произвольные действительные числа. Тогда \[P\left(b, \frac{a - b}{g(b)}\right) : g(a) = g(b) g\left(\frac{a - b}{g(b)}\right) \ge g(b), \ (1)\] следовательно, функция $g$ — неубывающая. Рассмотрим два случая.
1) Существует число $t > 0$ такое, что $g(t) = 1$. Тогда для любого $x > 0$: \[P(t, x) : g(x) = g(x + t). \ (2)\] Из (2) индукцией по $n$ легко получить, что $g(x) = g(x + nt)$ (3).
Пусть $a > t > b > 0$ — произвольные числа и $n$ — такое натуральное число, что $b + nt > a$. Откуда в силу неубывания $g$ получим, что $g(a) \ge g(t) \ge g(b) = g(b + nt) \ge g(a)$, значит, $g(a) = g(b) = 1$. Следовательно, $f \equiv 1$. Легко проверить, что эта функция удовлетворяет условию задачи.
2) $g(x) > 1$ для любого $x > 0$. Тогда из (1) следует, что $g$ — строго возрастающая функция, следовательно, она инъективна. Из подстановок $P(x, 1)$ и $P(1, x)$ имеем, что \[g(g(x) + x) = g(x) g(1) = g(x g(1) + 1) \implies g(x) + x = x g(1) + 1 \implies g(x) = cx + 1,\] где $c = g(1) - 1 > 0$ — некоторая константа. Выходит, что $f(x) = \dfrac{c}{x} + 1$. Легко проверить, что эта функция удовлетворяет условию.