Республиканская олимпиада по математике, 2020 год, 11 класс

$ABC$ үшбұрышының $CM$ медианасында $AB^2=4 \cdot MN \cdot MC$ болатындай $N$ нүктесі белгіленген. $AN$ және $BN$ түзулері $\triangle ABC$-ға сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $R$ нүктесі — $PQ$ кесіндісіндегі $\angle NRC = \angle BNC$ теңдігі орындалатындай $Q$-ға ең жақын нүкте; $S$ нүктесі — $PQ$ кесіндісіндегі $\angle NSC = \angle ANC$ теңдігі орындалатындай $P$-ға ең жақын нүкте. $RN = SN$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Опустим перпендикуляры $AH$ и $BT$ на прямые $BN$ и $AN$ соответственно. Тогда $MA = MB = MH = MT$ и $MN \cdot MC = \dfrac{AB^2}{4} = BM^2 = MH^2$, то есть описанная окружность $\triangle CNH$ касается прямой $MH$ или $\angle HCN = \angle MHN$. Получается, что $\angle HCN = \angle MHN = \angle MBN = \angle BCN$, $\angle HMC = \angle HNC - \angle MHN = \angle HNC - \angle NCB = \angle NBC$ или $\triangle CHM \sim \triangle CNB$.

Решение: Из условия $MN\cdot MC = AB^2 / 4=AM^2$ следует, что

$$\angle CQB = \angle CAM = \angle ANM = 180 - \angle ANC = 180 - \angle NSC,$$

значит $CQNS$ вписанный. Тогда $\angle NSR = \angle NCQ = \angle ACB.$ Последнее равенство следует из равенства $\angle MCB = \angle MBN.$

Аналогично $\angle NRS = \angle ACB.$ Отсюда легко вывести требуемое.