XIV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2020 год
Задача №1. Дана строго возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел a1, a2, a3, …. Известно, что an≤n+2020 и число n3an−1 делится на an+1 при всех натуральных n. Докажите, что an=n при всех натуральных n.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Треугольник ABC вписан в окружность ω. На сторонах AB,BC,CA отмечены точки K,L,M, соответственно, причем CM⋅CL=AM⋅BL. Луч LK пересекает прямую AC в точке P. Общая хорда окружности ω и описанной окружности треугольника KMP пересекает отрезок AM в точке S. Докажите, что SK∥BC.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Многочлен Q(x)=knxn+kn−1xn−1+…+k1x+k0 с действительными коэффициентами назовём мощным, если выполнено равенство |k0|=|k1|+|k2|+…+|kn−1|+|kn|, и невозрастающим, если k0≥k1≥…≥kn−1≥kn.
Пусть для многочлена P(x)=adxd+ad−1xd−1+…+a1x+a0 с ненулевыми действительными коэффициентами, где ad>0, многочлен P(x)(x−1)t(x+1)s является мощным для некоторых неотрицательных целых s и t (s+t>0). Докажите, что хотя бы один из многочленов P(x) и (−1)dP(−x) является невозрастающим. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1)
Пусть для многочлена P(x)=adxd+ad−1xd−1+…+a1x+a0 с ненулевыми действительными коэффициентами, где ad>0, многочлен P(x)(x−1)t(x+1)s является мощным для некоторых неотрицательных целых s и t (s+t>0). Докажите, что хотя бы один из многочленов P(x) и (−1)dP(−x) является невозрастающим. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1)
Задача №4. Докажите, что для любого натурального числа m существует такое натуральное n, что любые n различных точек на плоскости можно разбить на m непустых множеств, выпуклые оболочки которых будут иметь общую точку.
Выпуклой оболочкой конечного множества X точек на плоскости называется множество точек, лежащих внутри или на границе хотя бы одного выпуклого многоугольника с вершинами в X, включая вырожденные, т. е. отрезок и точка считаются выпуклыми многоугольниками. Никакие три вершины выпуклого многоугольника не лежат на одной прямой. Многоугольник содержит свою границу. ( Зиманов А. )
комментарий/решение(3)
Выпуклой оболочкой конечного множества X точек на плоскости называется множество точек, лежащих внутри или на границе хотя бы одного выпуклого многоугольника с вершинами в X, включая вырожденные, т. е. отрезок и точка считаются выпуклыми многоугольниками. Никакие три вершины выпуклого многоугольника не лежат на одной прямой. Многоугольник содержит свою границу. ( Зиманов А. )
комментарий/решение(3)