қазақша
русскийXIV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2020 год
Задача №1. Дана строго возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$. Известно, что $a_n \leq n+2020$ и число $n^3 a_n - 1$ делится на $a_{n+1}$ при всех натуральных $n$. Докажите, что $a_n = n$ при всех натуральных $n$.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. На сторонах $AB, BC, CA$ отмечены точки $K, L, M$, соответственно, причем $CM \cdot CL = AM \cdot BL$. Луч $LK$ пересекает прямую $AC$ в точке $P$. Общая хорда окружности $\omega$ и описанной окружности треугольника $ KMP$ пересекает отрезок $AM$ в точке $S$. Докажите, что $SK \parallel BC$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Многочлен $Q(x) = k_n x^n + k_{n-1} x^{n-1} + \ldots + k_1 x + k_0$ с действительными коэффициентами назовём мощным, если выполнено равенство $|k_0| = |k_1| + |k_2| + \ldots + |k_{n-1}| + |k_n|$, и невозрастающим, если $k_0 \geq k_1 \geq \ldots \geq k_{n-1} \geq k_n$.
Пусть для многочлена $P(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ с ненулевыми действительными коэффициентами, где $a_d > 0$, многочлен $P(x)(x-1)^t(x+1)^s$ является мощным для некоторых неотрицательных целых $s$ и $t$ ($s + t > 0$). Докажите, что хотя бы один из многочленов $P(x)$ и $(-1)^d P(-x)$ является невозрастающим. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1)
Пусть для многочлена $P(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ с ненулевыми действительными коэффициентами, где $a_d > 0$, многочлен $P(x)(x-1)^t(x+1)^s$ является мощным для некоторых неотрицательных целых $s$ и $t$ ($s + t > 0$). Докажите, что хотя бы один из многочленов $P(x)$ и $(-1)^d P(-x)$ является невозрастающим. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1)
Задача №4. Докажите, что для любого натурального числа $m$ существует такое натуральное $n$, что любые $n$ различных точек на плоскости можно разбить на $m$ непустых множеств, выпуклые оболочки которых будут иметь общую точку.
Выпуклой оболочкой конечного множества $X$ точек на плоскости называется множество точек, лежащих внутри или на границе хотя бы одного выпуклого многоугольника с вершинами в $X$, включая вырожденные, т. е. отрезок и точка считаются выпуклыми многоугольниками. Никакие три вершины выпуклого многоугольника не лежат на одной прямой. Многоугольник содержит свою границу. ( Зиманов А. )
комментарий/решение(3)
Выпуклой оболочкой конечного множества $X$ точек на плоскости называется множество точек, лежащих внутри или на границе хотя бы одного выпуклого многоугольника с вершинами в $X$, включая вырожденные, т. е. отрезок и точка считаются выпуклыми многоугольниками. Никакие три вершины выпуклого многоугольника не лежат на одной прямой. Многоугольник содержит свою границу. ( Зиманов А. )
комментарий/решение(3)