қазақша
русскийXIV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2020 год
Есеп №1. Шексіз және қатаң өспелі $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ натурал сандар тізбегі берілген. Барлық натурал $n$ саны үшін $a_n \leq n+2020$ екені және $n^3 a_n - 1$ саны $a_{n+1}$ санына бөлінетіні белгілі. Кез келген натурал $n$ үшін $a_n = n$ екенін дәлелдеңіз.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Шексіз және қатаң өспелі $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ натурал сандар тізбегі берілген. Барлық натурал $n$ саны үшін $a_n \leq n+2020$ екені және $n^3 a_n - 1$ саны $a_{n+1}$ санына бөлінетіні белгілі. Кез келген натурал $n$ үшін $a_n = n$ екенін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Коэффициенттері нақты сандар болатын $Q(x) = k_n x^n + k_{n-1} x^{n-1} + \ldots + k_1 x + k_0$ көпмүшесі үшін $|k_0| = |k_1| + |k_2| + \ldots + |k_{n-1}| + |k_n|$ теңдігі орындалса, ондай көпмүшені қуатты деп атаймыз, ал егер егер $k_0 \geq k_1 \geq \ldots \geq k_{n-1} \geq k_n$ теңсіздіктері орындалса, осы көпмүшені өспелі емес деп атаймыз.
Коэффициенттері нөлге тең емес нақты сандар болатын $P(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ көпмүше үшін $(a_d > 0)$, қандай-да бір бүтін теріс емес $s$ және $t$ $(s + t > 0)$ сандары үшін $P(x)(x-1)^t(x+1)^s$ көпмүшесі қуатты болсын. $P(x)$ және $(-1)^d P(-x)$ көпмүшелерінің кемінде біреуі өспелі емес екенін дәлелдеңіз. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1)
Коэффициенттері нөлге тең емес нақты сандар болатын $P(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ көпмүше үшін $(a_d > 0)$, қандай-да бір бүтін теріс емес $s$ және $t$ $(s + t > 0)$ сандары үшін $P(x)(x-1)^t(x+1)^s$ көпмүшесі қуатты болсын. $P(x)$ және $(-1)^d P(-x)$ көпмүшелерінің кемінде біреуі өспелі емес екенін дәлелдеңіз. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Кез келген натурал $m$ саны үшін келесі шартты қанағаттандыратын натурал $n$ саны табылатынын дәлелдеңіз: жазықтықтағы кез келген $n$ әртүрлі нүктені дөңес қабықшаларының ортақ нүктесі болатындай бос емес $m$ бөлікке бөлуге болады.
Жазықтықтағы шекті $X$ нүктелер жиынының дөңес қабықшасы деп кемінде бір $X$-тің төбелерінен құрылған дөңес көпбұрышының ішінде немесе қабырғаларында орналасқан нүктелер жиынын айтамыз (нүкте немесе кесінді дөңес көпбұрыш деп саналады. Дөңес көпбұрыштың кез келген үш төбесі бір түзудің бойында жатпайды және дөңес көпбұрыш өзінің шекарасын қамтиды). ( Зиманов А. )
комментарий/решение(3)
Жазықтықтағы шекті $X$ нүктелер жиынының дөңес қабықшасы деп кемінде бір $X$-тің төбелерінен құрылған дөңес көпбұрышының ішінде немесе қабырғаларында орналасқан нүктелер жиынын айтамыз (нүкте немесе кесінді дөңес көпбұрыш деп саналады. Дөңес көпбұрыштың кез келген үш төбесі бір түзудің бойында жатпайды және дөңес көпбұрыш өзінің шекарасын қамтиды). ( Зиманов А. )
комментарий/решение(3)