Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

XIV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2020 год


Треугольник ABC вписан в окружность ω. На сторонах AB,BC,CA отмечены точки K,L,M, соответственно, причем CMCL=AMBL. Луч LK пересекает прямую AC в точке P. Общая хорда окружности ω и описанной окружности треугольника KMP пересекает отрезок AM в точке S. Докажите, что SKBC. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть ACBC. Отметим на стороне AB точку D такую, что DMBC. Тогда DBDA=CMAM=BLCL, то есть DLAC. На касательной прямой к ω в точке C отметим точку T такую, что KTBC. Тогда TKA=CBA=TCA. Следовательно, четырехугольник AKCT — вписанный. Пусть отрезки KT и AC пересекаются в точке S1. Тогда S1PS1C=KPKL=KAKD=S1AS1MS1PS1M=S1CS1A=S1KS1T. Значит, четырехугольник TMKP вписан в окружность, описанную около треугольника KMP. Известно, что общие хорды каждой пары трёх окружностей, центры которых не лежат на одной прямой, пересекаются в одной точке. Это значит, что общая хорда окружности ω и описанной окружности треугольника KMP проходит через точку S1. Следовательно, точки S1 и S совпадают, и параллельность S1KBC верна из построения точки T.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Введем обозначения: b=AC, m=AM, s=AS, p=AP. Так как S лежит на радикальной оси описанных окружностей треугольников ABC и PKM, то SMSP=SASC(ms)(s+p)=s(bs)s=pmb+pm. Тогда ASSC=sbs=pm(bm)(b+p). По теореме Менелая для треугольника ABC и секущей PKL: AKKBBLLCCPPA=1AKKB=CLLBAPPC=AMMCAPPC=mbmpb+p=ASSCSKBC, что и требовалось доказать.

  0
4 месяца 1 дней назад #

По теореме менелая:

ACAPPKKLBLBC=1

Значит

PKKL=APACBCBL

Заметим что из условия следует что PSSM=ASCS значит PSAS=CSSM=>>PSPA=CSCM

Иакже не сложно понять что из условия следует что CMAC=BLBC

Чтобы доказать что SK||BC докажем что PSCS=PKKL<=>APACBCBL=APCM что верно.