XIV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2020 год

Шексіз және қатаң өспелі $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ натурал сандар тізбегі берілген. Барлық натурал $n$ саны үшін $a_n \leq n+2020$ екені және $n^3 a_n - 1$ саны $a_{n+1}$ санына бөлінетіні белгілі. Кез келген натурал $n$ үшін $a_n = n$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $AC \leq BC$. Отметим на стороне $AB$ точку $D$ такую, что $DM \parallel BC$. Тогда $$\frac{DB}{DA} = \frac{CM}{AM} = \frac{BL}{CL},$$ то есть $DL \parallel AC$. На касательной прямой к $\omega$ в точке $C$ отметим точку $T$ такую, что $KT \parallel BC$. Тогда $\angle TKA = \angle CBA = \angle TCA$. Следовательно, четырехугольник $AKCT$ — вписанный. Пусть отрезки $KT$ и $AC$ пересекаются в точке $S_1$. Тогда $$\frac{S_1P}{S_1C} = \frac{KP}{KL} = \frac{KA}{KD} = \frac{S_1A}{S_1M} \implies S_1P \cdot S_1M = S_1C \cdot S_1A = S_1K \cdot S_1T.$$ Значит, четырехугольник $TMKP$ вписан в окружность, описанную около треугольника $KMP$. Известно, что общие хорды каждой пары трёх окружностей, центры которых не лежат на одной прямой, пересекаются в одной точке. Это значит, что общая хорда окружности $\omega$ и описанной окружности треугольника $KMP$ проходит через точку $S_1$. Следовательно, точки $S_1$ и $S$ совпадают, и параллельность $S_1K \parallel BC$ верна из построения точки $T$.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Введем обозначения: $$b = AC, \ m = AM, \ s = AS, \ p = AP.$$ Так как $S$ лежит на радикальной оси описанных окружностей треугольников $ABC$ и $PKM$, то $$SM \cdot SP = SA \cdot SC \implies (m - s)(s + p) = s(b - s) \implies s = \frac{pm}{b + p - m}.$$ Тогда $$\frac{AS}{SC} = \frac{s}{b - s} = \frac{pm}{(b - m)(b + p)}.$$ По теореме Менелая для треугольника $ABC$ и секущей $PKL$: $$\frac{AK}{KB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1 \implies \frac{AK}{KB} = \frac{CL}{LB} \cdot \frac{AP}{PC} = \frac{AM}{MC} \cdot \frac{AP}{PC} = \frac{m}{b - m} \cdot \frac{p}{b + p} = \frac{AS}{SC} \implies SK \parallel BC,$$ что и требовалось доказать.

По теореме менелая:

$\frac{AC}{AP}*\frac{PK}{KL}*\frac{BL}{BC}=1$

Значит

$\frac{PK}{KL}= \frac{AP}{AC}* \frac{BC}{BL}$

Заметим что из условия следует что $PS*SM=AS*CS$ значит $\frac{PS}{AS}=\frac{CS}{SM}=>> \frac{PS}{PA}=\frac{CS}{CM}$

Иакже не сложно понять что из условия следует что $\frac{CM}{AC}=\frac{BL}{BC}$

Чтобы доказать что $SK||BC$ докажем что $\frac{PS}{CS}=\frac{PK}{KL} <=> \frac{AP}{AC}* \frac{BC}{BL}=\frac{AP}{CM}$ что верно.