XIV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2020 год
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Пусть AC≤BC. Отметим на стороне AB точку D такую, что DM∥BC. Тогда DBDA=CMAM=BLCL, то есть DL∥AC. На касательной прямой к ω в точке C отметим точку T такую, что KT∥BC. Тогда ∠TKA=∠CBA=∠TCA. Следовательно, четырехугольник AKCT — вписанный. Пусть отрезки KT и AC пересекаются в точке S1. Тогда S1PS1C=KPKL=KAKD=S1AS1M⟹S1P⋅S1M=S1C⋅S1A=S1K⋅S1T. Значит, четырехугольник TMKP вписан в окружность, описанную около треугольника KMP. Известно, что общие хорды каждой пары трёх окружностей, центры которых не лежат на одной прямой, пересекаются в одной точке. Это значит, что общая хорда окружности ω и описанной окружности треугольника KMP проходит через точку S1. Следовательно, точки S1 и S совпадают, и параллельность S1K∥BC верна из построения точки T.
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2. Введем обозначения: b=AC, m=AM, s=AS, p=AP. Так как S лежит на радикальной оси описанных окружностей треугольников ABC и PKM, то SM⋅SP=SA⋅SC⟹(m−s)(s+p)=s(b−s)⟹s=pmb+p−m. Тогда ASSC=sb−s=pm(b−m)(b+p). По теореме Менелая для треугольника ABC и секущей PKL: AKKB⋅BLLC⋅CPPA=1⟹AKKB=CLLB⋅APPC=AMMC⋅APPC=mb−m⋅pb+p=ASSC⟹SK∥BC, что и требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.