Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2020 год, 10 класс


Задача №1.  Найдите все такие пары (m,n) натуральных чисел, что n4 | 2m51 и m4 | 2n5+1. Запись a | b обозначает, что a делит b. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)
Задача №2.  Найдите все функции f:R+R+ такие, что для любых x,yR+ верно равенство: f(x)f(y)=f(xyxf(x)+y). R+ обозначает множество положительных действительных чисел. ( Болатов А. )
комментарий/решение(3)
Задача №3.  На медиане CM треугольника ABC отмечена точка N так, что MNMC=AB2/4. Прямые AN и BN вторично пересекают описанную окружность ABC в точках P и Q, соответственно. R — точка отрезка PQ, ближайшая к Q, такая что NRC=BNC; S — точка отрезка PQ, ближайшая к P, такая что NSC=ANC. Докажите, что RN=SN. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)
Задача №4.  Марат и Алибек играют в игру на бесконечной в обе стороны клетчатой полоске, в которой клетки пронумерованы последовательными целыми числами слева направо (, 2, 1, 0, 1, 2, ). Марат в свой ход ставит один крестик в любую свободную клетку, а Алибек в свой ход ставит нули в любые 2020 свободных клеток. Марат победит, если ему удастся получить такие 4 клетки отмеченные крестиками, что соответствующие номера клеток будут образовывать арифметическую прогрессию. Цель Алибека в этой игре — помешать Марату выиграть. Они ходят по очереди и первым ходит Марат. Сможет ли Марат выиграть как бы ни играл Алибек? ( Зиманов А. )
комментарий/решение(1)
результаты