қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2020 год, 10 класс
Задача №1. Найдите все такие пары $(m, n)$ натуральных чисел, что $n^4 \ | \ 2m^5 - 1$ и $m^4 \ | \ 2n^5 + 1$. Запись $a \ | \ b$ обозначает, что $a$ делит $b$.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Найдите все функции $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ такие, что для любых $x, y \in \mathbb{R}^+$ верно равенство:
\[f(x) f(y) = f \left( \frac{xy}{x f(x) + y} \right).\]
$\mathbb{R}^+$ обозначает множество положительных действительных чисел.
(
Болатов А.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. На медиане $CM$ треугольника $ABC$ отмечена точка $N$ так, что $MN \cdot MC = AB^2/4$. Прямые $AN$ и $BN$ вторично пересекают описанную окружность $\triangle ABC$ в точках $P$ и $Q$, соответственно. $R$ — точка отрезка $PQ$, ближайшая к $Q$, такая что $\angle NRC = \angle BNC$; $S$ — точка отрезка $PQ$, ближайшая к $P$, такая что $\angle NSC = \angle ANC$. Докажите, что $RN = SN$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Марат и Алибек играют в игру на бесконечной в обе стороны клетчатой полоске, в которой клетки пронумерованы последовательными целыми числами слева направо ($\ldots$, $-2,$ $-1,$ 0, 1, 2, $\ldots$). Марат в свой ход ставит один крестик в любую свободную клетку, а Алибек в свой ход ставит нули в любые 2020 свободных клеток. Марат победит, если ему удастся получить такие 4 клетки отмеченные крестиками, что соответствующие номера клеток будут образовывать арифметическую прогрессию. Цель Алибека в этой игре — помешать Марату выиграть. Они ходят по очереди и первым ходит Марат. Сможет ли Марат выиграть как бы ни играл Алибек?
(
Зиманов А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)