Республиканская олимпиада по математике, 2020 год, 10 класс

Найдите все такие пары $(m, n)$ натуральных чисел, что $n^4 \ | \ 2m^5 - 1$ и $m^4 \ | \ 2n^5 + 1$. Запись $a \ | \ b$ обозначает, что $a$ делит $b$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $(m, n) = (1, 1)$.
Если $m = 1$, то $n = 1$ и наоборот. Пусть теперь $m, n \ge 3$. $$(mn)^4 \ | \ (2m^5 - 1)(2n^5 + 1) \implies (mn)^4 \ | \ 2m^5 - 2n^5 - 1.$$ Так как $2m^5 - 2n^5 - 1 \ne 0$, то рассмотрим два случая:
1) $2m^5 - 2n^5 - 1 > 0$.
Тогда $2m^5 - 2n^5 - 1 = k (mn)^4$ для некоторого натурального $k$. $$2m^5 > k (mn)^4 \implies 2m > kn^4 \ge n^4 \implies 2m - kn^4 \ge 1, \ m > n.$$ $$m^4 \le m^4 (2m - kn^4) = 2n^5 + 1 < 3n^5 < 6mn < 6m^2 \implies m^2 < 6$$ --- противоречие.
2) $2m^5 - 2n^5 - 1 < 0$.
Тогда $2n^5 - 2m^5 + 1 = k (mn)^4$ для некоторого натурального $k$. $$2n^5 > k (mn)^4 \implies 2n > km^4 \ge m^4 \implies 2n - km^4 \ge 1, \ n > m.$$ $$n^4 \le n^4 (2n - km^4) = 2m^5 - 1 < 2m^5 < 4mn < 4n^2$$ --- противоречие.

Решение: Перемножим эти делимости $$(mn)^4|2m^5-2n^5-1\Rightarrow (mn)^4\pm(2m^5-2n^5)<\pm1\Rightarrow (m^4\mp 2n)(n^4\pm 2m)<-4mn\pm1<0$$ Если $n^4<2m$, предположим, что $m\ge2$, тогда из второй делимости $$m^4\le 2n^5+1<2(2m)^{\frac54}+1\Rightarrow\\1>m^{\frac54}(m^{\frac{11}4}-2^{\frac94})\ge 2^{\frac{14}4}(\sqrt2-1)>4\cdot0,4>1$$ Поэтому $m=1\Rightarrow n=1$. Аналогично в случае $m^4<2n$ $$n^4|2m^5-1\Rightarrow n^4<2m^5+1\Rightarrow m=n=1$$

Ответ: $(m,n)=(1,1)$