XVIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2023 год

Внутри трапеции $ABCD$ $(AD \parallel BC)$ выбрана точка $M$, а внутри треугольника $BMC$ точка $N$ так, что $AM \parallel CN$, $BM \parallel DN$. Докажите, что у треугольников $ABN$ и $CDM$ площади равны. ( Н. Седракян )

Комментарий/решение

Достроим так чтобы $AMCK$ и $ABCJ$ были параллелограммы. Понятно что $\vartriangle ABM\cong\vartriangle CJK$ и $\vartriangle ABK\cong\vartriangle CJM$. Пусть $AB$ пересекает $CN$ в точке $H$, встречается с $CM$ в $I$, $AJ$ встречается с $CM$ в $G$.

$\frac{IH}{IB}=\frac{IH}{IA}\cdot\frac{IA}{IB}=\frac{IC}{IM}\cdot\frac{IG}{IC}=\frac {IG}{IM}$, поэтому $GH\parallel MB$, отсюда $GH\parallel DN\parallel JK$.

$S_\vartriangle ABN=S_\vartriangle ABK\cdot\frac{HN}{HK}=S_\vartriangle CJM\cdot\frac{GD}{GJ}=S_\vartriangle CDM$.

Пусть, $u \wedge v$ - ориентированная площадь параллелограмма, образованого векторами $u,v$. Через $a,b,c,d,m,n$ обозначим радиус-вектора точек $A,B,C,D,M,N$ соответственно. Тогда, из паралельностей получаем:

$$(d-a) \wedge (c-b)=0$$

$$(m-a) \wedge (n-c)=0$$

$$(m-b) \wedge (n-d)=0$$

Из суммы первых двух уравнений вычтем третье, получим:

$$d \wedge c + a \wedge b - m \wedge c - a \wedge n - m \wedge d - b \wedge n =0$$

$$(d-m) \wedge (c-m) = -(a-n) \wedge (b-n)$$

$$\overrightarrow{MD} \wedge \overrightarrow{MC} = - \overrightarrow{NA} \wedge \overrightarrow{NB}$$

$$|\overrightarrow{MD} \wedge \overrightarrow{MC}| = | \overrightarrow{NA} \wedge \overrightarrow{NB}|$$

Поскольку модуль ориентированной площади параллелограмма в два раза больше площади треугольника, получаем

$$S_{CDM}=S_{ABN}$$

Лемма: В трапеции ABCD S(ABC)=S(BCD), поскольку имеют равные высоты и основания.

Проведем AC, BD, MN. А также пересечение MN и BD отметим за P;Заметим что S(CNM)=S(ANC), S(BCD)=S(ABC), S(BNM)=S(BMD),

Из этих утверждений получим что если S(BCMN)=S(BCD) то условия будут доказаны, но

по (iii) учитывая что S(BPM)-общая, то S(MPD)=S(BPN) откуда выходит S(BCMN)=S(BCD),

следовательно S(ABN)=S(CDM)#

Смотря на решения сверху можно уверено сказать что это слишком скучно.

пересечем $AB$ и $CD$ и рассмотрим образовавшийся треугольник за главный. Введем барицентрические координаты с $A(1,0,0), D(0,0,1)$. Пусть $B(b,1-b,0)$, тогда $D(0,1-b,b)$ по Фалесу. Пусть $M(m_1,m_2,m_3), N(n_1,n_2,n_3)$. Тогда легко удостовериться по детерминанту что уловие равносильно $m_1=n_3$. Из условия параллельности это несложно выводится

Используем лемму, которую использовал delimostna3.

Обозначим площадь фигуры $XYZ$ как $[XYZ]$.

$[ABC] = [ABN] + [BNC] + [ANC] = [ABN] + [BNC] + [CMN]$

$[BDC] = [BNC] + [DNC] + [DNB]$

Так как $[ABC] = [BDC]$, то имеем:

$[ABN] + [CMN] = [DNC] + [DNB]$

Докажем, что:

$[CDM] + [CMN] = [DNC] + [DNB]$

Известно, что:

$[CDM] + [CMN] = [DMNC] = [DNC] + [DNB]$

Теперь, вычитаем $[DNC]$ из обеих частей:

$[DMNC] - [DNC] = [DMN] = [DNB]$

Это верно согласно лемме.