22-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2023 жыл
Комментарий/решение:
Достроим так чтобы AMCK и ABCJ были параллелограммы. Понятно что △ABM≅△CJK и △ABK≅△CJM. Пусть AB пересекает CN в точке H, встречается с CM в I, AJ встречается с CM в G.
IHIB=IHIA⋅IAIB=ICIM⋅IGIC=IGIM, поэтому GH∥MB, отсюда GH∥DN∥JK.
S△ABN=S△ABK⋅HNHK=S△CJM⋅GDGJ=S△CDM.
Пусть, u∧v - ориентированная площадь параллелограмма, образованого векторами u,v. Через a,b,c,d,m,n обозначим радиус-вектора точек A,B,C,D,M,N соответственно. Тогда, из паралельностей получаем:
(d−a)∧(c−b)=0
(m−a)∧(n−c)=0
(m−b)∧(n−d)=0
Из суммы первых двух уравнений вычтем третье, получим:
d∧c+a∧b−m∧c−a∧n−m∧d−b∧n=0
(d−m)∧(c−m)=−(a−n)∧(b−n)
→MD∧→MC=−→NA∧→NB
|→MD∧→MC|=|→NA∧→NB|
Поскольку модуль ориентированной площади параллелограмма в два раза больше площади треугольника, получаем
SCDM=SABN
Лемма: В трапеции ABCD S(ABC)=S(BCD), поскольку имеют равные высоты и основания.
Проведем AC, BD, MN. А также пересечение MN и BD отметим за P;Заметим что S(CNM)=S(ANC), S(BCD)=S(ABC), S(BNM)=S(BMD),
Из этих утверждений получим что если S(BCMN)=S(BCD) то условия будут доказаны, но
по (iii) учитывая что S(BPM)-общая, то S(MPD)=S(BPN) откуда выходит S(BCMN)=S(BCD),
следовательно S(ABN)=S(CDM)#
Смотря на решения сверху можно уверено сказать что это слишком скучно.
пересечем AB и CD и рассмотрим образовавшийся треугольник за главный. Введем барицентрические координаты с A(1,0,0),D(0,0,1). Пусть B(b,1−b,0), тогда D(0,1−b,b) по Фалесу. Пусть M(m1,m2,m3),N(n1,n2,n3). Тогда легко удостовериться по детерминанту что уловие равносильно m1=n3. Из условия параллельности это несложно выводится
Используем лемму, которую использовал delimostna3.
Обозначим площадь фигуры XYZ как [XYZ].
[ABC]=[ABN]+[BNC]+[ANC]=[ABN]+[BNC]+[CMN]
[BDC]=[BNC]+[DNC]+[DNB]
Так как [ABC]=[BDC], то имеем:
[ABN]+[CMN]=[DNC]+[DNB]
Докажем, что:
[CDM]+[CMN]=[DNC]+[DNB]
Известно, что:
[CDM]+[CMN]=[DMNC]=[DNC]+[DNB]
Теперь, вычитаем [DNC] из обеих частей:
[DMNC]−[DNC]=[DMN]=[DNB]
Это верно согласно лемме.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.