Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

22-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2023 жыл


ABCD (ADBC) трапециясының ішінде M, ал BMC үшбұрышының ішінде N нүктелері AMCN және BMDN болатындай алынған. ABN және CDM үшбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіз. ( Н. Седракян )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
1 года 1 месяца назад #

Достроим так чтобы AMCK и ABCJ были параллелограммы. Понятно что ABMCJK и ABKCJM. Пусть AB пересекает CN в точке H, встречается с CM в I, AJ встречается с CM в G.

IHIB=IHIAIAIB=ICIMIGIC=IGIM, поэтому GHMB, отсюда GHDNJK.

SABN=SABKHNHK=SCJMGDGJ=SCDM.

  3
1 года 1 месяца назад #

Пусть, uv - ориентированная площадь параллелограмма, образованого векторами u,v. Через a,b,c,d,m,n обозначим радиус-вектора точек A,B,C,D,M,N соответственно. Тогда, из паралельностей получаем:

(da)(cb)=0

(ma)(nc)=0

(mb)(nd)=0

Из суммы первых двух уравнений вычтем третье, получим:

dc+abmcanmdbn=0

(dm)(cm)=(an)(bn)

MDMC=NANB

|MDMC|=|NANB|

Поскольку модуль ориентированной площади параллелограмма в два раза больше площади треугольника, получаем

SCDM=SABN

  1
1 года 1 месяца назад #

Лемма: В трапеции ABCD S(ABC)=S(BCD), поскольку имеют равные высоты и основания.

Проведем AC, BD, MN. А также пересечение MN и BD отметим за P;Заметим что S(CNM)=S(ANC), S(BCD)=S(ABC), S(BNM)=S(BMD),

Из этих утверждений получим что если S(BCMN)=S(BCD) то условия будут доказаны, но

по (iii) учитывая что S(BPM)-общая, то S(MPD)=S(BPN) откуда выходит S(BCMN)=S(BCD),

следовательно S(ABN)=S(CDM)#

  4
1 года назад #

Смотря на решения сверху можно уверено сказать что это слишком скучно.

  0
7 месяца 28 дней назад #

пересечем AB и CD и рассмотрим образовавшийся треугольник за главный. Введем барицентрические координаты с A(1,0,0),D(0,0,1). Пусть B(b,1b,0), тогда D(0,1b,b) по Фалесу. Пусть M(m1,m2,m3),N(n1,n2,n3). Тогда легко удостовериться по детерминанту что уловие равносильно m1=n3. Из условия параллельности это несложно выводится

  0
4 месяца 2 дней назад #

Используем лемму, которую использовал delimostna3.

Обозначим площадь фигуры XYZ как [XYZ].

[ABC]=[ABN]+[BNC]+[ANC]=[ABN]+[BNC]+[CMN]

[BDC]=[BNC]+[DNC]+[DNB]

Так как [ABC]=[BDC], то имеем:

[ABN]+[CMN]=[DNC]+[DNB]

Докажем, что:

[CDM]+[CMN]=[DNC]+[DNB]

Известно, что:

[CDM]+[CMN]=[DMNC]=[DNC]+[DNB]

Теперь, вычитаем [DNC] из обеих частей:

[DMNC][DNC]=[DMN]=[DNB]

Это верно согласно лемме.