XX математическая олимпиада «Шелковый путь», 2025 год

Пусть $p > 200$ -- простое число. Назовём натуральное $n$ хорошим, если числитель несократимой дроби $\frac{a_n}{b_n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$ делится на $p$. Докажите, что для всех достаточно больших $N$ количество хороших чисел, не превосходящих $N$, не больше $C N^{\frac{3}{4}}$, где $C$ -- некоторая константа (возможно, зависящая от $p$). ( Navid Safaei )