22-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2026 год

Для многочлена $P(x)$ с вещественными коэффициентами нашлись четыре различных непостоянных многочлена $f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$ и $f_4(x)$ с вещественными коэффициентами, старшие коэффициенты которых положительны, $f_1(x)\cdot f_2(x)=f_3(x)\cdot f_4(x)$ и $P(f_1(x))\cdot P(f_2(x))=P(f_3(x))\cdot P(f_4(x))$ при всех вещественных $x$. Найдите все многочлены $P(x)$, для которых это возможно. ( А. Голованов, Navid Safaei )