22-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2026 год

Для многочлена $P(x)$ с вещественными коэффициентами нашлись четыре различных непостоянных многочлена $f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$ и $f_4(x)$ с вещественными коэффициентами, старшие коэффициенты которых положительны, $f_1(x)\cdot f_2(x)=f_3(x)\cdot f_4(x)$ и $P(f_1(x))\cdot P(f_2(x))=P(f_3(x))\cdot P(f_4(x))$ при всех вещественных $x$. Найдите все многочлены $P(x)$, для которых это возможно. ( А. Голованов, Navid Safaei )

Комментарий/решение

Заметим $:C\cdot P(x) \ $ и $\ \dfrac{P(x)}{x^k} \mid \{x_i =0\mid \forall\ 0\leq i \leq k \}$ также удовлетворяют условиям, где $ x_i $ - коэффициент перед $i$ - ой степенью многочлена.

Тогда можно положить что $: P(0) \ne 0.$

\[ \]

Разложим $: f_i(x) = \prod \limits_{j=1}^{t_i} (x-r_j)^{\alpha_j}$ где $r_j$ корни многочлена.

Определим мультимножества $: F_i = \{ _{\alpha_j}r_j \mid 1\leq j \leq t_i \}$ где $_ca_b$ означает что элемент $a_b$ встречается $c$ раз в нем.

\[ \]

\[ \mathbb{R[x]} \ni a(x) = \prod \limits_{j=1}^{t_a} (x-a_j)^{\beta_j} \mid F_1(x) \cap F_3(x) = A = \{ _{\beta_j}a_j \mid 1 \leq j \leq t_a \}\]

Аналогично определим и $b(x),c(x),d(x).$

\[ \]

\[f_1(x)\cdot f_2(x) = a(x)b(x) \cdot c(x)d(x) = a(x)d(x) \cdot b(x)c(x) = f_3(x)\cdot f_4(x)\]

Для удобства отбросим $x$ и введем определение $0^0 = 1$

\[P(f_1(x))\cdot P(f_2(x)) - P(f_3(x))\cdot P(f_4(x)) =P(ab)P(cd)-P(ad)P(bc) = 0\]

\[\]

Утверждение: $\ P(ab)P(cd)-P(ad)P(bc)$ делится на $(a-c)(b-d)$ как многочлен

\[ \]

Доказательство:

\[P(ab)P(cd)-P(ad)P(bc) = \left( \sum \limits_{i=0}^{n} x_i(ab)^i\right )\cdot\left( \sum \limits_{i=0}^{n} x_i(cd)^i\right )-\left( \sum \limits_{i=0}^{n} x_i(ad)^i\right )\cdot\left( \sum \limits_{i=0}^{n} x_i(bc)^i\right )\]

Данное можно перегруппировать данным образом $:$

\[RHS = \left ( \sum \limits_{0\leq i < j \leq n}^{} x_j(ab)^jx_i(cd)^i + x_i(ab)^ix_j(cd)^j \right )-\left ( \sum \limits_{0\leq i < j \leq n}^{} x_j(ad)^jx_i(bc)^i + x_i(ad)^ix_j(bc)^j \right ) \]

Что можно записать как$:$

\[RHS = \sum \limits_{0 \leq i < j \leq n }^{} x_jx_i(abcd)^i \overbrace{((ab)^{j-i}-(ad)^{j-i} + (cd)^{j-i} - (bc)^{j-i})}^{(a^{j-i}-c^{j-i})(b^{j-i}-d^{j-i})} \quad \blacksquare\]

Выведем $(a-c)(b-d)$ за скобку:

\[ (a-c)(b-d)Q(a,b,c,d) = (a-c)(b-d)\cdot\left (\sum \limits_{0\leq i < j \leq n}^{} x_jx_i(abcd)^i\left ( \sum \limits_{k=1}^{j-i} a^{j-i-k}c^{k-1}\right )\cdot \left ( \sum \limits_{k=1}^{j-i} b^{j-i-k}d^{k-1}\right ) \right ) = 0\]

Пусть $(a-c)(b-d)=0$ тогда б.о.о. можно взять что $: a=c \to f_1(x)=ab=bc=f_4(x) \to \varnothing$

\[(a-c)(b-d) \ne 0 \to Q(a,b,c,d) = 0\]

\[\]

Утверждение: $\ Q \equiv 0$

\[\]

Доказательство:

Заметим что среди $a,b,c,d$ есть не константный многочлен, б.о.о $: a$

$\quad $ Подутверждение: $\ a $ принимает бесконечное количество различных значений

\[\]

$\quad $ Доказательсво:

$\quad $ Пусть $a = C$ для $_\infty x$. Определим многочлен $A=a-C \to A \equiv 0 \to \varnothing \quad \blacksquare$

\[\]

Тогда $: (a,b,c,d) $ представляет бесконечное количество четверок. $ \quad \blacksquare$

\[\]

Рассмотрим многочлен $: Q(x,y,z,t)$ для $x,y,z,t \in \mathbb{R}$

\[Q(x,y,z,t) =\sum \limits_{0\leq i < j \leq n}^{} x_jx_i(xyzt)^i\left ( \sum \limits_{k=1}^{j-i} x^{j-i-k}z^{k-1}\right )\cdot \left ( \sum \limits_{k=1}^{j-i} y^{j-i-k}t^{k-1}\right ) = 0\]

Тогда:

\[Q(0,0,z,t) =\sum \limits_{0\leq i < j \leq n}^{} x_jx_i(0\cdot0\cdot yz)^i\left ( \sum \limits_{k=1}^{j-i} 0^{j-i-k}z^{k-1}\right )\cdot \left ( \sum \limits_{k=1}^{j-i} 0^{j-i-k}t^{k-1}\right ) = x_0\cdot \left ( \sum \limits_{i=1}^{n} x_i \cdot (zt)^{i-1}\right ) = 0 \]

Перезапишем $:$

\[x_0\cdot \left ( \sum \limits_{i=1}^{n} x_i \cdot (zt)^{i-1}\right ) = P(0)\cdot \left ( \dfrac{P(zt)-P(0)}{zt} \right ) = 0\]

Т.к. $P(0) \ne 0 \to P(zt)=P(0) \ \forall\ zt \in \mathbb{R}_{\ne 0}$

\[\]

Тогда $P \equiv C. $ Используя что многочлены $:C\cdot P(x) \ $ и $\ \dfrac{P(x)}{x^k} \mid \{x_i =0\mid \forall\ 0\leq i \leq k \}$ также удовлетворяют условиям получаем ответ.

\[\]

Ответ: $\ P(x) = Cx^n$

Прекрасное решение