Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс
Сүйірбұрышты ABC үшбұрышының AD биіктігі жүргізілген. H нүктесі — ABC үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі. A және B нүктелері арқылы өтетін Ω шеңбері AC түзуін жанайды. BE кесіндісі Ω-ның диаметрі болсын. BH және AH түзулері Ω-ны екінші рет, сәйкесінше, K және L нүктелерінде қияды. EK және AB түзулері T нүктесінде қиылыссын. ∠BDK=∠BLT екенін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пересечение EK и AD - X очевидно что (i)KXBD вписан
По счету углов ∠TBK=∠LBD⇒∠KBD=∠LBT ну значит(ii)LBTX вписан
(180°−∠KBT=180°−∠LBD=∠KXD=∠TXL)
Дальше из (i) ∠BKD=∠BXD
Из (ii) ∠BTL=∠BXL
X;L;D лежат на одной прямой значит ∠BXL=∠BXD⇒∠BTL=∠BKD значит
∠BDK=180°−∠BKD−∠KBD=180°−∠BTL−∠LBT=∠BLT
ЧТД
Допустим это неверно. Но по условию это надо доказать, что значит, что это является верным утверждением. А значит это противоречие предположению. Поэтому это верно => доказано
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.