Processing math: 82%

Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс


В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AD. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Окружность Ω проходит через точки A и B, и касается прямой AC. Пусть BE — диаметр Ω. Прямые BH и AH во второй раз пересекают Ω в точках K и L соответственно. Прямые EK и AB пересекаются в точке T. Докажите, что BDK=BLT. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
1 года назад #

LBT=LBA=LAC=HAC=HBC=KBD,

TBK=LBD,LDB=TKB=90TBKLBD,

TBBL=BKBD,TBL=KBDTBLKBD,BDK=BLT.

  3
1 года назад #

Пересечение EK и AD - X очевидно что (i)KXBD вписан

По счету углов TBK=LBDKBD=LBT ну значит(ii)LBTX вписан

(180°-\angle{KBT}=180°-\angle{LBD}=\angle{KXD}=\angle{TXL})

Дальше из (i) \ \ \angle{BKD}=\angle{BXD}

Из (ii) \ \ \angle{BTL}=\angle{BXL}

X;L;D лежат на одной прямой значит \angle{BXL}=\angle{BXD} \Rightarrow \angle{BTL}=\angle{BKD} значит

\angle{BDK}=180°-\angle{BKD}-\angle{KBD}=180°-\angle{BTL}-\angle{LBT}=\angle{BLT}

ЧТД

  1
2 месяца 29 дней назад #

Допустим это неверно. Но по условию это надо доказать, что значит, что это является верным утверждением. А значит это противоречие предположению. Поэтому это верно => доказано