Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AD$. Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Окружность $\Omega$ проходит через точки $A$ и $B$, и касается прямой $AC$. Пусть $BE$ — диаметр $\Omega$. Прямые $BH$ и $AH$ во второй раз пересекают $\Omega$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямые $EK$ и $AB$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что $\angle BDK=\angle BLT$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

$$\angle LBT=\angle LBA=\angle LAC=\angle HAC=\angle HBC=\angle KBD,$$

$$\angle TBK=\angle LBD, \angle LDB=\angle TKB=90^\circ \Rightarrow \triangle TBK \sim \triangle LBD,$$

$$\frac{TB}{BL}=\frac{BK}{BD}, \angle TBL=\angle KBD\Rightarrow \triangle TBL \sim \triangle KBD, \angle BDK=\angle BLT.$$

Пересечение $EK$ и $AD$ - $X$ очевидно что $(i)KXBD$ вписан

По счету углов $\angle{TBK}=\angle{LBD} \Rightarrow \angle{KBD}=\angle{LBT}$ ну значит$(ii) LBTX$ вписан

($180°-\angle{KBT}=180°-\angle{LBD}=\angle{KXD}=\angle{TXL}$)

Дальше из $(i) \ \ \angle{BKD}=\angle{BXD}$

Из $(ii) \ \ \angle{BTL}=\angle{BXL}$

$X;L;D$ лежат на одной прямой значит $\angle{BXL}=\angle{BXD} \Rightarrow \angle{BTL}=\angle{BKD}$ значит

$\angle{BDK}=180°-\angle{BKD}-\angle{KBD}=180°-\angle{BTL}-\angle{LBT}=\angle{BLT}$

ЧТД

Допустим это неверно. Но по условию это надо доказать, что значит, что это является верным утверждением. А значит это противоречие предположению. Поэтому это верно => доказано