Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 11 класс

Есеп №1.

$2^a+3^b=5^c\cdot d$ және

$2^b+3^a=5^d\cdot c$ теңдіктері орындалатындай, барлық

$(a,b,c,d)$ натурал сандар төрттіктерін табыңыз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение

Есеп №2. Кез келген

$m,n\in \mathbb N$ сандары үшін

$f(mf(n))+f(n)=f(nf(m)) + f(m)$ теңдігі орындалатындай барлық қатаң түрде өспелі

$f:\mathbb N\to \mathbb N$ функцияларын табыңыз. (Бұл жерде

$\mathbb N$ — натурал сандар жиыны.) ( Абу А. )
комментарий/решение

Есеп №3.

$ABC$ (

$AB\neq AC$ ) үшбұрышында

$I$ нүктесі — іштей сызылған шеңбер центрі,

$I_A$ нүктесі —

$BC$ қабырғасын жанайтын іштейсырт сызылған шеңбер центрі,

$\Omega$ — сырттай сызылған шеңбер, ал

$AD$ — биіктік.

$\Omega$ шеңберінде

$M$ нүктесі —

$BAC$ доғасының ортасы, ал

$AL$ — оның диаметрі.

$IL$ және

$I_AD$ түзулері

$P$ , ал

$ID$ және

$I_AL$ түзулері

$Q$ нүктесінде қиылысады.

$S$ нүктесі үшін

$SA = SM$ және

$SP = SL$ теңдіктері орындалады.

$AP, MQ$ және

$I_AS$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Нақты оң

$x, y$ сандары мен натурал

$n$ саны үшін

$\left\lfloor\frac{x^{n+1}}{y^n} \right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{y} \right\rfloor + \left\lfloor\frac{y^{n+1}}{x^n} \right\rfloor$ теңдігі орындалады.

$\dfrac{-1}{2n+1} < x-y < \dfrac{2}{2n-1}$ екенін дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$\lfloor t\rfloor$ арқылы

$t$ санының бүтін бөлігі, яғни

$t$ -дан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение

Есеп №5. Тең бүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышында

$M$ нүктесі —

$AB$ қабырғасының ортасы,

$I$ — іштей сызылған шеңбер центрі, ал

$J$ —

$\triangle ABC$ -ға сырттай сызылған шеңбердің

$C$ -ны қамтымайтын

$AB$ доғасының ортасы. Центрі

$J$ және радиусы

$JM$ болатын шеңберге

$IP$ және

$IQ$ жанамалары жүргізілген (мұнда

$A$ мен

$P$ нүктелері

$CI$ түзуінің бір жағында жатыр).

$APJ$ және

$BQJ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$R$ нүктесінде қиылысады.

$IP$ және

$IQ$ түзулері

$AB$ түзуін, сәйкесінше,

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қияды.

$MX_1$ және

$MY_1$ , сәйкесінше,

$XMJ$ және

$YMJ$ үшбұрыштарының биссектрисалары.

$X_1, Y_1$ және

$R$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение

Есеп №6.

$k+1 < 2n$ болатындай натурал

$n$ және

$k$ сандары берілген.

$a_1+a_2+\cdots+a_{2n}=0$ , және барлық

$i=1,2,\ldots,2n$ үшін

$a_i\in\{1,-1\}$ және

$a_1+a_2+\cdots+a_i\ge 0$ шарттарын қанағаттандыратын

$(a_1,a_2,\ldots,a_{2n})$ тізбектер жиынын

$A$ деп белгілейік.

$a_k=1$ болатын

$A$ -ның барлық ішкі жиынын

$B$ деп, ал

$a_{k+1}=1$ болатын

$A$ -ның барлық ішкі жиынын

$C$ деп белгілейік.

$|B|\cdot |C|\ge |A|\cdot |B\cap C|$ теңсіздігін дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$|X|$ арқылы

$X$ жиынының элементтер саны белгіленген.) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

результаты