Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

Задача №1. Дана клетчатая доска размера

$2025 \times 2025$ . Изначально все стороны всех единичных клеток доски покрашены в чёрный цвет. За один ход можно выбрать любой прямоугольник, состоящий из нескольких клеток доски, и перекрасить все его стороны в красный цвет (одну сторону единичной клетки можно красить несколько раз). Найдите наименьшее число ходов, за которое можно перекрасить все стороны всех единичных клеток доски в красный цвет. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Даны натуральные числа

$b,M$ и простое число

$p$ . Строго возрастающая последовательность натуральных чисел

$a_1,a_2,\ldots$ такова, что

$a_n^3+b$ делится на

$a_{n+1}+a_n$ при всех целых

$n\ge 1$ . Докажите, что хотя бы одно из чисел

$Mp, (M+1)p,(M+2)p,\ldots$ не встречается в этой бесконечной последовательности

$a_1,a_2,\ldots$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение

Задача №3. Дан неравнобедренный остроугольный треугольник

$ABC$ , в котором

$O$ — центр описанной окружности, a

$H$ — точка пересечения высот. Прямая, проходящая через

$H$ и параллельная

$BC$ , пересекает

$AB, AC$ в точках

$A_1, A_2$ соответственно. Аналогично определим точки

$B_1,B_2,C_1,C_2$ . Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников

$AA_1A_2$ ,

$BB_1B_2$ и

$CC_1C_2$ лежит на прямой

$OH$ . (Радикальный центр трёх окружностей — точка пересечения радикальных осей трёх пар окружностей.) ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(4)

Задача №4. В неравнобедренном треугольнике

$ABC$ точка

$M$ — середина стороны

$AB$ ,

$I$ — центр вписанной окружности, а

$J$ — середина дуги

$AB$ окружности, описанной около

$\triangle ABC$ , не содержащей точку

$C$ . К окружности с центром

$J$ и радиусом

$JM$ провели касательные

$IP$ и

$IQ$ (

$A$ и

$P$ лежат по одну сторону от прямой

$CI$ ). Описанные окружности треугольников

$APJ$ и

$BQJ$ вторично пересекаются в точке

$R$ . Докажите, что

$R$ лежит на прямой

$AB$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Задача №5. Положительные действительные числа

$x, y$ , и натуральное число

$n$ таковы, что

$\left\lfloor\frac{x^{n+1}}{y^n} \right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{y} \right\rfloor + \left\lfloor\frac{y^{n+1}}{x^n} \right\rfloor.$ Докажите, что

$\dfrac{-1}{2n+1} < x-y < \dfrac{2}{2n-1}$ . (

$\lfloor t\rfloor$ — целая часть

$t$ , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее

$t$ .) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение

Задача №6. Дано натуральное число

$n$ . Пусть

$A$ — количество всех наборов целых чисел вида

$(x_1,x_2,\ldots,x_k)$ таких, что

$x_1\ge x_2\ge \cdots\ge x_k > 0$ и

$\displaystyle\sum_{i=1}^k x_i=n$ , а

$B$ — количество всех наборов целых чисел вида

$(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ таких, что

$x_1\ge x_2\ge \cdots\ge x_{m-1} > 0$ ,

$x_m=0$ и

$\displaystyle\sum_{i=1}^{m-1} \min(x_i-x_{i+1},1)\cdot (x_i+i-1)=n$ . Докажите, что

$A=B$ . ( Аманов А. )
комментарий/решение

результаты