Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

Даны натуральные числа $b,M$ и простое число $p$. Строго возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1,a_2,\ldots$ такова, что $a_n^3+b$ делится на $a_{n+1}+a_n$ при всех целых $n\ge 1$. Докажите, что хотя бы одно из чисел $Mp, (M+1)p,(M+2)p,\ldots$ не встречается в этой бесконечной последовательности $a_1,a_2,\ldots$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Пойдем от противного.

Пускай $\exists x_M<x_{M+1}<…$ такие что $\forall j \geq M$ $a_{x_j}=jp$.

Ведем новую последовательность $(b_n)_{n \geq 1}$ такая что $b_n=a_{n+1}-a_n$.

Заметим что если $x_i \leq n < x_{i+1}$ тогда так как $x_{i+1} \geq n+1$ =>> $p=a_{x_{i+1}}-a_{x_i} \geq a_{n+1}-a_n=b_n$ отсюда $(b_n)_{n \geq 1}$ ограничена.

Из условие:

$2a_n+b_n | 8(a_n^3+b)-(8a_n^3+b_n^3)=8b-b_n^3$ и так как $LHS$ стремится к бесконечности а $RHS$ ограничена сверху тогда $8b=b_n^3$. Отсюда $b=c^3, b_n=2c$ где $c$ константа. Подставим в условие:

$2(a_n+c) | a_n^3+c^3=(a_n+c)(a_n^2-a_nc+c^2) =>> 2 | a_n,c$. Отсюда $p= a_{x_{i+1}}-a_{x_i}=2c(x_{i+1}-x_i)$ выходит что $4 | p$ что невозможно.

я в наивысшей степени счастья от того как развиваются математики казахстана, кроме пользователя abdulkashib