Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник $ABC$, в котором $O$ — центр описанной окружности, a $H$ — точка пересечения высот. Прямая, проходящая через $H$ и параллельная $BC$, пересекает $AB, AC$ в точках $A_1, A_2$ соответственно. Аналогично определим точки $B_1,B_2,C_1,C_2$. Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ и $CC_1C_2$ лежит на прямой $OH$. (Радикальный центр трёх окружностей — точка пересечения радикальных осей трёх пар окружностей.) ( Зауытхан А. )

Комментарий/решение

Проведем высоту $AD$. И пусть касательные к опис окр $ABC$ в точках $C$ и $B$ пересекаются в $M$. Тогда не сложно доказать что $MD$ является радикальной осью $BB_1B_2$ и $CC_1C_2$. Отсюда эти три рад оси пересекаются с $OH$ в центре гомотетии которая переводид ортогональный треугольник в треугольник образовавшейся касательными.

А что если дети не знают что такое рад ось? Не порядок, надо избегать таких формулировок. Когда я участвовал на респе 9 кл, будучи 8 классником, то даже углы считать не умел, не говоря уже о степени точки и рад осях. А так на угаре задача)))

рад ось и степень точки в 9 классе проходят

В школьной программе ничего подобного и в помине нет и рассказывается разве что на доп занятиях. Безусловно, большинство участников будет знать эти темы, но несмотря на это, на респу 9 кл можно пройти и без этих знаний