Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

Есеп №1.

$2025 \times 2025$ өлшемді тор тақта берілген. Бастапқыда тақтадағы әр бірлік ұяшықтың әр қабырғасы қара түске боялған. Бір жүрісте тақтада бірнеше ұяшықтан тұратын кез келген тіктөртбұрышты таңдап алып, оның барлық қабырғаларын қызыл түске бояуға болады (бір ұяшықтың бір қабырғасын бірнеше рет бояуға рұқсат). Барлық бірлік ұяшықтарының әр қабырғасы қызыл түсті болуы үшін, кемінде неше жүріс жасау керек? ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Натурал

$b,M$ сандары мен жай

$p$ саны берілген. Натурал сандардан тұратын қатаң түрде өспелі

$a_1,a_2,\ldots$ тізбегінде, барлық бүтін

$n\ge 1$ саны үшін

$a_n^3+b$ саны

$a_{n+1}+a_n$ санына бөлінеді.

$Mp, (M+1)p,(M+2)p,\cdots$ сандарының ішінен шексіз

$a_1,a_2,\ldots$ тізбегінде кездеспейтін сан табылатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение

Есеп №3.

$O$ нүктесі — теңбүйірлі емес сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі, aл

$H$ — осы үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі.

$H$ арқылы өтетін және

$BC$ -ға параллель түзу

$AB, AC$ түзулерін, сәйкесінше,

$A_1, A_2$ нүктелерінде қияды. Дәл осылай

$B_1,B_2,C_1,C_2$ нүктелерін анықтайық.

$AA_1A_2$ ,

$BB_1B_2$ және

$CC_1C_2$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерінің радикал центрі

$OH$ түзуінің бойында жатқанын дәлелдеңіз. (Үш шеңбердің радикал центрі деп, олардың екі екіден алынғандағы шеңберлерінің радикал өстерінің қиылысу нүктесін айтамыз.) ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(4)

Есеп №4. Тең бүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышында

$M$ нүктесі —

$AB$ қабырғасының ортасы,

$I$ — іштей сызылған шеңбер центрі, ал

$J$ —

$\triangle ABC$ -ға сырттай сызылған шеңбердің

$C$ -ны қамтымайтын

$AB$ доғасының ортасы. Центрі

$J$ және радиусы

$JM$ болатын шеңберге

$IP$ және

$IQ$ жанамалары жүргізілген (мұнда

$A$ мен

$P$ нүктелері

$CI$ түзуінің бір жағында жатыр).

$APJ$ және

$BQJ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$R$ нүктесінде қиылысады.

$R$ нүктесі

$AB$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Нақты оң

$x, y$ сандары мен натурал

$n$ саны үшін

$\left\lfloor\frac{x^{n+1}}{y^n} \right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{y} \right\rfloor + \left\lfloor\frac{y^{n+1}}{x^n} \right\rfloor$ теңдігі орындалады.

$\dfrac{-1}{2n+1} < x-y < \dfrac{2}{2n-1}$ екенін дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$\lfloor t\rfloor$ арқылы

$t$ санының бүтін бөлігі, яғни

$t$ -дан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение

Есеп №6. Натурал

$n$ саны берілген.

$A$ деп

$x_1\ge x_2\ge \cdots\ge x_k > 0$ және

$\displaystyle\sum_{i=1}^k x_i=n$ шарттарын қанағаттандыратын барлық бүтін

$(x_1,x_2,\ldots,x_k)$ сандар жиынтығының санын белгілейік.

$B$ деп

$x_1\ge x_2\ge \cdots\ge x_{m-1} > 0$ ,

$x_m=0$ және

$\displaystyle\sum_{i=1}^{m-1} \min(x_i-x_{i+1},1)\cdot (x_i+i-1)=n$ шарттарын қанағаттандыратын барлық бүтін

$(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ сандар жиынтығының санын белгілейік.

$A=B$ екенін дәлелдеңіз. ( Аманов А. )
комментарий/решение

результаты