Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, $I$ — центр вписанной окружности, а $J$ — середина дуги $AB$ окружности, описанной около $\triangle ABC$, не содержащей точку $C$. К окружности с центром $J$ и радиусом $JM$ провели касательные $IP$ и $IQ$ ($A$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $CI$). Описанные окружности треугольников $APJ$ и $BQJ$ вторично пересекаются в точке $R$. Докажите, что $R$ лежит на прямой $AB$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

$JP=JM=JQ$ радиусы, а по лемме трезубца $AJ=IJ=BJ.$

Очевидно, что $JM \bot MB.$ Тогда по пифагоре;

$IQ^2= IJ^2-JQ^2=JB^2-JM^2=MB^2 \Rightarrow IQ=MB.$

Так же аналогично $IP=AM=MB=IQ$

Пусть $MB \cup IQ=T \Rightarrow TM,TQ$ касательные, значит равны; $IQ=MB \Rightarrow IT=TB; \angle MTI= \angle QTB, \Rightarrow \triangle MTI= \triangle QTB \Rightarrow MI=QB$

Так же аналогично $MI=AP=QB.$

Получаем; $AJ=IJ=BJ, PJ=MJ=QJ, AP=MI=BQ.$

Значит треугольники $\triangle APJ= \triangle IMJ= \triangle BQJ$ равны. $\Rightarrow \angle APJ= \angle BQJ.$

Пусть окружность $(APJ)$ пересекает прямую $AB$ в точке $R'$. тогда $180^\circ - \angle BR'J=180^\circ - \angle ARJ= \angle APJ= \angle BQJ$, из чего следует, что $BQJR'$ вписанный. Окружности $(APJ)$ и $(BQJ)$ вторично пересекаются в точках $R$ и $R'$. Значит $R=R'$, а она лежит на $AB$ ч.т.д.

Через точку $Q$ проведем прямую, параллельную стороне $AB$. Пусть эта прямая пересечет описанную окружность треугольника $\triangle BJQ$ в точке $E$. Через точку $A$ проведем прямую, параллельную стороне $RE$. Тогда $\angle ARE+\angle BRE=\angle REQ+\angle RBQ=180^\circ$

Второй случай — когда $R$ лежит на прямой $AB$. Пусть $D$ такая точка на $EQ$, что $RE=AD=BQ$. Тогда $AB\parallel DQ\parallel EQ\parallel RB \longrightarrow A$ дежит на отрезке $RB$