Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Понятно что для четных n ответ n2−1.
Пусть n нечетное. Тогда если k хотя бы 2n−1 тогда покроем первую строку и первый столбец. И остальные клетки просто положим так чтобы они образовали связную фигуру. Понятно что при таком складывании нельзя делать параллельные переносы. (Уточнение в условии). И понятно что при нечетном n поворачивать фигуру бессмысленно. Тогда такая фигура не подходит условию. Значит k меньше 2n−1. Если k=2n−2 то расставим 2n−2 клеток по первой строке и по первому столбцу без крайней клетки. Тогда у нас одинаковое количество черных и белых клеток. И при переносе каждая клетка меняет свой цвет на противоположный. Таким образом их всегда одинаковое количество. Значит 2n−2 не подходит. Докажем что 2n−3 подходит. Легко понять что какой-то столбец и какая-та строка будет свободной. Значит можно использовать параллельный перенос. Так как 2n−3 нечетное то у нас количество черных и белых клеток не равно. Тогда при переносе количество белых и черных и поменяется, значит цвета что было больше станет меньше, что подходит условию.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.