Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс

Задача №1. Натуральные числа $a,b,c$ таковы, что $a^2=b^3+ab$ и $c^3=a+b+c$. Докажите, что $a=bc$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)

Задача №2. Дано целое число $n>1$. Доску $n\times n$ раскрасили шахматным образом в белый и черный цвет. Фигурой назовем любой непустой набор различных клеток доски. Фигуры $F_1$ и $F_2$ назовем подобными, если $F_1$ можно получить из $F_2$ с помощью поворота относительно центра доски на угол кратный $90^\circ$ и параллельного переноса. (Любая фигура подобна самой себе.) Фигуру $F$ назовем связной, если для любых клеток $a,b\in F$ найдется последовательность клеток $c_1,\ldots,c_m\in F$ такая, что $c_1 = a$, $c_m = b$, а также $c_i$ и $c_{i+1}$ имеют общую сторону для каждого $1\le i\le m - 1$. Найдите наибольшее возможное значение $k$ такое, что для любой связной фигуры $F$, состоящей из $k$ клеток, найдутся фигуры $F_1,F_2$ подобные $F$, что в $F_1$ белых клеток больше, чем черных, а в $F_2$ белых клеток меньше, чем черных. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1)

Задача №3. В окружность $\omega$ с центром $O$ вписан остроугольный треугольник $ABC$ ($AB\ne AC$). Точка $M$ — середина стороны $BC$. Касательная прямая к $\omega$ в точке $A$ пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $D$. Окружность с центром в точке $M$ и с радиусом $MA$ пересекает продолжения сторон $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Пусть $X$ такая точка, что $BX\parallel KM$ и $CX\parallel LM$. Докажите, что точки $X$, $D$, $O$ лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(6)

Задача №4. Докажите, что для любых натуральных чисел $a$, $b$, $c$ хотя бы одно из чисел $a^3b+1$, $b^3c+1$, $c^3a+1$ не делится на $a^2+b^2+c^2$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6)

Задача №5. В треугольнике $ABC$ ($AB\ne AC$), в котором все углы больше $45^\circ$, проведена высота $AD$. Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ — окружности с диаметрами $AC$ и $AB$ соответственно. Биссектриса угла $ADB$ вторично пересекает $\omega_1$ в точке $P$, а бисектрисса угла $ADC$ вторично пересекает $\omega_2$ в точке $Q$. Прямая $AP$ вторично пересекает $\omega_2$ в точке $R$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $PQR$ лежит на прямой $BC$. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(2)

Задача №6. Целое число $m\ge 3$ и бесконечная последовательность натуральных чисел $(a_n)_{n\ge 1}$ при всех натуральных $n$ удовлетворяет равенству \[a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}. \] Докажите, что $a_1 < 2^m$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

результаты