Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс
Задача №1. Натуральные числа a,b,c таковы, что a2=b3+ab и c3=a+b+c. Докажите, что a=bc.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Дано целое число n>1. Доску n×n раскрасили шахматным образом в белый и черный цвет. Фигурой назовем любой непустой набор различных клеток доски. Фигуры F1 и F2 назовем подобными, если F1 можно получить из F2 с помощью поворота относительно центра доски на угол кратный 90∘ и параллельного переноса. (Любая фигура подобна самой себе.) Фигуру F назовем связной, если для любых клеток a,b∈F найдется последовательность клеток c1,…,cm∈F такая, что c1=a, cm=b, а также ci и ci+1 имеют общую сторону для каждого 1≤i≤m−1. Найдите наибольшее возможное значение k такое, что для любой связной фигуры F, состоящей из k клеток, найдутся фигуры F1,F2 подобные F, что в F1 белых клеток больше, чем черных, а в F2 белых клеток меньше, чем черных.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. В окружность ω с центром O вписан остроугольный треугольник ABC (AB≠AC). Точка M — середина стороны BC. Касательная прямая к ω в точке A пересекает продолжение стороны BC в точке D. Окружность с центром в точке M и с радиусом MA пересекает продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Пусть X такая точка, что BX∥KM и CX∥LM. Докажите, что точки X, D, O лежат на одной прямой.
(
Шынтас Н.
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №4. Докажите, что для любых натуральных чисел a, b, c хотя бы одно из чисел a3b+1, b3c+1, c3a+1 не делится на a2+b2+c2.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №5. В треугольнике ABC (AB≠AC), в котором все углы больше 45∘, проведена высота AD. Пусть ω1 и ω2 — окружности с диаметрами AC и AB соответственно. Биссектриса угла ADB вторично пересекает ω1 в точке P, а бисектрисса угла ADC вторично пересекает ω2 в точке Q. Прямая AP вторично пересекает ω2 в точке R. Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQR лежит на прямой BC.
(
Шынтас Н.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Целое число m≥3 и бесконечная последовательность натуральных чисел (an)n≥1 при всех натуральных n удовлетворяет равенству an+2=2m√am−1n+1+am−1n−an+1. Докажите, что a1<2m.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)