Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс

Есеп №1. Натурал

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары үшін

$a^2=b^3+ab$ және

$c^3=a+b+c$ теңдіктері орындалса,

$a=bc$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Бүтін

$n>1$ саны берілген. Өлшемі

$n\times n$ тақтасы ақ және қара түске шахмат бояуына боялған. Фигура деп тақтаның әртүрлі ұяшықтарынан құралған бос емес жиынды айтамыз. Егер

$F_2$ -ні тақтаның центріне қатысты

$90^\circ$ -қа бірнеше рет бұрып алып, одан кейін параллель тасымалдау арқылы

$F_1$ фигурасын ала алсақ, онда

$F_1$ мен

$F_2$ фигураларын ұқсас фигуралар деп атаймыз. (Кез келген фигура өзіне ұқсас болып есептелінеді.) Егер

$F$ фигурасының кез келген екі

$a,b\in F$ ұяшығы үшін

$c_1 = a$ ,

$c_m = b$ болатындай

$c_1,\ldots,c_m \in F$ ұяшықтар тізбегі табылып, әрі барлық

$1\le i\le m - 1$ үшін

$c_i$ және

$c_{i+1}$ ұяшықтарының ортақ қабырғасы болса, онда

$F$ фигурасын байланысқан фигура деп атаймыз.

$k$ -ның қандай ең үлкен мүмкін мәнінде,

$F_1$ фигурасында ақ түсті ұяшықтар саны қара түсті ұяшықтар санынан артық, ал

$F_2$ фигурасында керісінше, ақ түсті ұяшықтар саны қара түсті ұяшықтар санынан кем болатындай,

$k$ ұяшықтан тұратын кез келген байланысқан

$F$ фигурасы үшін

$F$ -ке ұқсас

$F_1$ және

$F_2$ фигуралары табылады? ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Центрі

$O$ болатын

$\omega$ шеңберіне сүйірбұрышты

$ABC$ (

$AB\ne AC$ ) үшбұрышы іштей сызылған.

$M$ нүктесі —

$BC$ қабырғасының ортасы.

$\omega$ -ға

$A$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу

$BC$ қабырғасының созындысын

$D$ нүктесінде қияды. Центрі

$M$ ал радиусы

$MA$ болатын шеңбер

$AB$ және

$AC$ қабырғаларының созындыларын, сәйкесінше,

$K$ және

$L$ және нүктелерінде қияды.

$X$ нүктесі

$BX\parallel KM$ және

$CX\parallel LM$ болатындай нүкте.

$X$ ,

$D$ ,

$O$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(6)

Есеп №4. Кез келген натурал

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары үшін

$a^3b+1$ ,

$b^3c+1$ ,

$c^3a+1$ сандарының кемінде біреуі

$a^2+b^2+c^2$ санына бөлінбейтінін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6)

Есеп №5. Барлық бұрышы

$45^\circ$ -тан артық болатын

$ABC$ (

$AB\ne AC$ ) үшбұрышында

$AD$ биіктігі жүргізілген.

$\omega_1$ және

$\omega_2$ — диаметрлері, сәйкесінше,

$AC$ және

$AB$ болатын шеңберлер.

$ADB$ бұрышының биссектрисасы

$\omega_1$ -ді екінші рет

$P$ нүктесінде, ал

$ADC$ бұрышының биссектрисасы

$\omega_2$ -ні екінші рет

$Q$ нүктесінде қияды.

$AP$ түзуі

$\omega_2$ -ні екінші рет

$R$ нүктесінде қисын.

$PQR$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі

$BC$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Бүтін

$m\ge 3$ саны және мүшелер саны шексіз болатын

$(a_n)_{n\ge 1}$ натурал сандар тізбегі кез келген натурал

$n$ саны үшін

$a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}$ теңдігін қанағаттандырады.

$a_1 < 2^m$ екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

результаты