Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс

Есеп №1. Натурал $a$, $b$, $c$ сандары үшін $a^2=b^3+ab$ және $c^3=a+b+c$ теңдіктері орындалса, $a=bc$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Бүтін $n>1$ саны берілген. Өлшемі $n\times n$ тақтасы ақ және қара түске шахмат бояуына боялған. Фигура деп тақтаның әртүрлі ұяшықтарынан құралған бос емес жиынды айтамыз. Егер $F_2$-ні тақтаның центріне қатысты $90^\circ$-қа бірнеше рет бұрып алып, одан кейін параллель тасымалдау арқылы $F_1$ фигурасын ала алсақ, онда $F_1$ мен $F_2$ фигураларын ұқсас фигуралар деп атаймыз. (Кез келген фигура өзіне ұқсас болып есептелінеді.) Егер $F$ фигурасының кез келген екі $a,b\in F$ ұяшығы үшін $c_1 = a$, $c_m = b$ болатындай $c_1,\ldots,c_m \in F$ ұяшықтар тізбегі табылып, әрі барлық $1\le i\le m - 1$ үшін $c_i$ және $c_{i+1}$ ұяшықтарының ортақ қабырғасы болса, онда $F$ фигурасын байланысқан фигура деп атаймыз. $k$-ның қандай ең үлкен мүмкін мәнінде, $F_1$ фигурасында ақ түсті ұяшықтар саны қара түсті ұяшықтар санынан артық, ал $F_2$ фигурасында керісінше, ақ түсті ұяшықтар саны қара түсті ұяшықтар санынан кем болатындай, $k$ ұяшықтан тұратын кез келген байланысқан $F$ фигурасы үшін $F$-ке ұқсас $F_1$ және $F_2$ фигуралары табылады? ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Центрі $O$ болатын $\omega$ шеңберіне сүйірбұрышты $ABC$ ($AB\ne AC$) үшбұрышы іштей сызылған. $M$ нүктесі — $BC$ қабырғасының ортасы. $\omega$-ға $A$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $BC$ қабырғасының созындысын $D$ нүктесінде қияды. Центрі $M$ ал радиусы $MA$ болатын шеңбер $AB$ және $AC$ қабырғаларының созындыларын, сәйкесінше, $K$ және $L$ және нүктелерінде қияды. $X$ нүктесі $BX\parallel KM$ және $CX\parallel LM$ болатындай нүкте. $X$, $D$, $O$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(6)

Есеп №4. Кез келген натурал $a$, $b$, $c$ сандары үшін $a^3b+1$, $b^3c+1$, $c^3a+1$ сандарының кемінде біреуі $a^2+b^2+c^2$ санына бөлінбейтінін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6)

Есеп №5. Барлық бұрышы $45^\circ$-тан артық болатын $ABC$ ($AB\ne AC$) үшбұрышында $AD$ биіктігі жүргізілген. $\omega_1$ және $\omega_2$ — диаметрлері, сәйкесінше, $AC$ және $AB$ болатын шеңберлер. $ADB$ бұрышының биссектрисасы $\omega_1$-ді екінші рет $P$ нүктесінде, ал $ADC$ бұрышының биссектрисасы $\omega_2$-ні екінші рет $Q$ нүктесінде қияды. $AP$ түзуі $\omega_2$-ні екінші рет $R$ нүктесінде қисын. $PQR$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $BC$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Бүтін $m\ge 3$ саны және мүшелер саны шексіз болатын $(a_n)_{n\ge 1}$ натурал сандар тізбегі кез келген натурал $n$ саны үшін \[a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1} \] теңдігін қанағаттандырады. $a_1 < 2^m$ екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

результаты