Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс

Докажите, что для любых натуральных чисел $a$, $b$, $c$ хотя бы одно из чисел $a^3b+1$, $b^3c+1$, $c^3a+1$ не делится на $a^2+b^2+c^2$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Решение: пусть все 3 делимости выполняются

Известно что:

1)$abc(a^2+b^2+c^2)$ делится на $a^2+b^2+c^2$

Тогда:

$(a^3*b+1)*c+(b^3*c+1)*a+(c^3*a+1)*b$ делится на $a^2+b^2+c^2$

Значит:

$(a^3*b+1)*c+(b^3*c+1)*a+(c^3*a+1)*b=a^3*bc+b^3*ac+c^3*ab+a+b+c=abc(a^2+b^2+c^2)+a+b+c$

Значит из 1) - $a+b+c$ делится на $a^2+b^2+c^2$

Очевидно что $a\leq a^2$ и тд. Но тогда так как мы решаем в натуральных числах, то:

$a+b+c\geq a^2+b^2+c^2\geq a+b+c$.

Откуда выходит равенство, причем оно достигается только при:

$a=b=c=1$

Из этого тоже легко получить противоречие:

$a^3*b+1=2$ не делится на $a^2+b^2+c^2=3$. Доказано

От обратного, обозначим $n = a^2 + b^2 + c^2$. Пусть найдется простой $p \mid n$ и $p \mid a$, но тогда $(a^3b+1,p)=1$, что неверно, т.е. $(n,a)=1$. Аналогично $(n,b)=(n,c)=1$. $n \mid a^3b + 1 - (b^3c + 1) = a^3b - b^3c \iff n \mid a^3 - b^2c$. Аналогично $n \mid b^3 - c^2a$, $n \mid c^3 - a^2b$; $c^2 \equiv -(a^2+b^2) \pmod{n}$. Тогда:

0 ≡ (b³-c²a) - (a³-b²c) ≡ b³ + (a²+b²)a - a³ + b²c ≡ b²(a+b+c) (mod n)

Следовательно $a^2 + b^2 + c^2 \mid a+b+c$, что возможно только при $a = b = c = 1$, $a^3b + 1 = 2$, но $2$ не кратно $3$ - противоречие.