Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс


Кез келген натурал a, b, c сандары үшін a3b+1, b3c+1, c3a+1 сандарының кемінде біреуі a2+b2+c2 санына бөлінбейтінін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
1 года назад #

Решение: пусть все 3 делимости выполняются

Известно что:

1)abc(a2+b2+c2) делится на a2+b2+c2

Тогда:

(a3b+1)c+(b3c+1)a+(c3a+1)b делится на a2+b2+c2

Значит:

(a3b+1)c+(b3c+1)a+(c3a+1)b=a3bc+b3ac+c3ab+a+b+c=abc(a2+b2+c2)+a+b+c

Значит из 1) - a+b+c делится на a2+b2+c2

Очевидно что aa2 и тд. Но тогда так как мы решаем в натуральных числах, то:

a+b+ca2+b2+c2a+b+c.

Откуда выходит равенство, причем оно достигается только при:

a=b=c=1

Из этого тоже легко получить противоречие:

a3b+1=2 не делится на a2+b2+c2=3. Доказано

  0
10 месяца назад #

Допустим это не так. Заметим что

abc(a2+b2+c2)+3 делится на a2+b2+c2.

Тогда так как a2+b2+c2|abc(a2+b2+c2), то 3 кратно a2+b2+c2.

Тогда очевидно a=b=c=1 но этот случай не подходит.

  1
10 месяца назад #

Чуть не верно

  1
9 месяца 29 дней назад #

можете указать ошибку пожалуйста?

пред. Правка 2   1
9 месяца 29 дней назад #

Можете объяснить почему abc(a2)+3 делится на a2

  1
9 месяца 29 дней назад #

а ой да, тупанул