Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс
Кез келген натурал a, b, c сандары үшін a3b+1, b3c+1, c3a+1 сандарының кемінде біреуі a2+b2+c2 санына бөлінбейтінін дәлелдеңіз.
(
Сатылханов К.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение: пусть все 3 делимости выполняются
Известно что:
1)abc(a2+b2+c2) делится на a2+b2+c2
Тогда:
(a3∗b+1)∗c+(b3∗c+1)∗a+(c3∗a+1)∗b делится на a2+b2+c2
Значит:
(a3∗b+1)∗c+(b3∗c+1)∗a+(c3∗a+1)∗b=a3∗bc+b3∗ac+c3∗ab+a+b+c=abc(a2+b2+c2)+a+b+c
Значит из 1) - a+b+c делится на a2+b2+c2
Очевидно что a≤a2 и тд. Но тогда так как мы решаем в натуральных числах, то:
a+b+c≥a2+b2+c2≥a+b+c.
Откуда выходит равенство, причем оно достигается только при:
a=b=c=1
Из этого тоже легко получить противоречие:
a3∗b+1=2 не делится на a2+b2+c2=3. Доказано
Допустим это не так. Заметим что
abc(a2+b2+c2)+3 делится на a2+b2+c2.
Тогда так как a2+b2+c2|abc(a2+b2+c2), то 3 кратно a2+b2+c2.
Тогда очевидно a=b=c=1 но этот случай не подходит.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.