Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс

Натуральные числа $a,b,c$ таковы, что $a^2=b^3+ab$ и $c^3=a+b+c$. Докажите, что $a=bc$. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Пусть $gcd(a,b)=d$ и $a=dx,b=dy$, где $gcd(x,y)=1$. Тогда сделав замену получим:

$$x^2=dy^3+xy$$

откуда получим,что $y|x^2$,но так как они взаимно просты,то $y=1$. Теперь получим,что

$$x^2=d+x; c^3-c=dx+d=d(x+1)=(x^2-x)(x+1)=x^3-x$$

$$c^3-x^3=c-x=(c-x)(c^2+cx+x^2)$$

Так как вторая скобка больше чем 1,то $c-x=0$ и $a=dx=dc=dyc=bc$.

Решение от противного:

$$(1) a > bc, a^2 = b^3 + abc \Leftrightarrow \frac{b^2}{a} > c-1$$ $$и$$ $$c^3-c = a+b > bc-b \Leftrightarrow c-1 > \frac{b}{c}$$ $$bc > a, противоречие$$

аналогичное ситуация для (2)a<bc

$a^2-b^3-ab=0$

Составим квадратное уравнение от a:

$D=b^2+4*b^3=b^2(4b+1)$

$a=\frac{b+-\sqrt{D}}{2}$

Очевидно что $\sqrt{D} > b$

Значит, так как a - положительное число:

$a=\frac{b+\sqrt{D}}{2}$

Отсюда если D - не квадрат, то a - не целое

Значит $b^2(4b+1)=x^2$

то есть $4b+1=y^2$

$y=2t+1$

$4b+1=4t^2+4t+1$

$b=t^2+t$

$a=\frac{b+\sqrt{D}}{2}=\frac{t^2+t+(2t+1)*(t^2+t)}{2}=\frac{2t^3+4t^2+2t}{2}=t^3+2t^2+t=t(t+1)^2$

$c^3-c=(c-1)(c)(c+1)=(t^2+t)(t+2)=(t)(t+1)(t+2)$

Если $c-1>t$

$(c-1)(c)(c+1)>(t)(t+1)(t+2)$. Противоречие

Если $c-1<t$

$(c-1)(c)(c+1)<(t)(t+1)(t+2)$. Противоречие

Значит $c=t+1$

$a=t(t+1)^2=(t^2+t)(t+1)=bc$. доказано