Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Пусть gcd(a,b)=d и a=dx,b=dy, где gcd(x,y)=1. Тогда сделав замену получим:
x2=dy3+xy
откуда получим,что y|x2,но так как они взаимно просты,то y=1. Теперь получим,что
x2=d+x;c3−c=dx+d=d(x+1)=(x2−x)(x+1)=x3−x
c3−x3=c−x=(c−x)(c2+cx+x2)
Так как вторая скобка больше чем 1,то c−x=0 и a=dx=dc=dyc=bc.
a2−b3−ab=0
Составим квадратное уравнение от a:
D=b2+4∗b3=b2(4b+1)
a=b+−√D2
Очевидно что √D>b
Значит, так как a - положительное число:
a=b+√D2
Отсюда если D - не квадрат, то a - не целое
Значит b2(4b+1)=x2
то есть 4b+1=y2
y=2t+1
4b+1=4t2+4t+1
b=t2+t
a=b+√D2=t2+t+(2t+1)∗(t2+t)2=2t3+4t2+2t2=t3+2t2+t=t(t+1)2
c3−c=(c−1)(c)(c+1)=(t2+t)(t+2)=(t)(t+1)(t+2)
Если c−1>t
(c−1)(c)(c+1)>(t)(t+1)(t+2). Противоречие
Если c−1<t
(c−1)(c)(c+1)<(t)(t+1)(t+2). Противоречие
Значит c=t+1
a=t(t+1)2=(t2+t)(t+1)=bc. доказано
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.