Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс


Натуральные числа a,b,c таковы, что a2=b3+ab и c3=a+b+c. Докажите, что a=bc. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
11 месяца 10 дней назад #

Пусть gcd(a,b)=d и a=dx,b=dy, где gcd(x,y)=1. Тогда сделав замену получим:

x2=dy3+xy

откуда получим,что y|x2,но так как они взаимно просты,то y=1. Теперь получим,что

x2=d+x;c3c=dx+d=d(x+1)=(x2x)(x+1)=x3x

c3x3=cx=(cx)(c2+cx+x2)

Так как вторая скобка больше чем 1,то cx=0 и a=dx=dc=dyc=bc.

пред. Правка 3   2
5 месяца 25 дней назад #

Решение от противного:

(1)a>bc,a2=b3+abcb2a>c1 и c3c=a+b>bcbc1>bc bc>a,противоречие

аналогичное ситуация для (2)a<bc

  8
11 месяца 10 дней назад #

a2b3ab=0

Составим квадратное уравнение от a:

D=b2+4b3=b2(4b+1)

a=b+D2

Очевидно что D>b

Значит, так как a - положительное число:

a=b+D2

Отсюда если D - не квадрат, то a - не целое

Значит b2(4b+1)=x2

то есть 4b+1=y2

y=2t+1

4b+1=4t2+4t+1

b=t2+t

a=b+D2=t2+t+(2t+1)(t2+t)2=2t3+4t2+2t2=t3+2t2+t=t(t+1)2

c3c=(c1)(c)(c+1)=(t2+t)(t+2)=(t)(t+1)(t+2)

Если c1>t

(c1)(c)(c+1)>(t)(t+1)(t+2). Противоречие

Если c1<t

(c1)(c)(c+1)<(t)(t+1)(t+2). Противоречие

Значит c=t+1

a=t(t+1)2=(t2+t)(t+1)=bc. доказано