Зауытхан А.

Есеп №1. \q6 Теңбүйірлі емес сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының биіктіктері

$H$ нүктесінде қиылысады.

$BHC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге

$H$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу

$AB$ және

$AC$ түзулерін, сәйкесінше,

$Q$ және

$P$ нүктелерінде қияды.

$ABC$ және

$APQ$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері екінші рет

$K$ нүктесінде қиылысады.

$APQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге

$A$ және

$K$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар

$T$ нүктесінде қиылысады.

$TH$ түзуі

$BC$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(7) олимпиада

Есеп №2. Жазықтықта ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын 2000 нүктеден тұратын

$G$ графы берілген. Олардың 1000-ы қара, ал қалған 1000-ы қызыл түске боялған. 100 қызыл нүкте дөңес 100-бұрыштың төбелері болатындай, ал қалған 1900 нүкте осы 100-бұрыштың ішінде жататындай 100 қызыл нүкте табылатыны белгілі. Қызыл нүктелерді қосатын кез келген кесінді қара нүктелерді қосатын ешбір кесіндімен қиылыспайтындай ұштары бір түсті бірнеше кесінділерді жүргізуге болатынын, және

$G$ -ның әрбір төбесінен сол түске боялған кез келген төбеге жете алатындай, бірнеше кесінді жүргізе алатынымызды дәлелдеңіз (графтың қабырғалары — бұл жүргізілген кесінділер). ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3. Жазықтықта ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын 2000 нүктеден тұратын

Есеп №4.

$abc=1$ болатындай оң нақты

$a,b,c$ сандары берілген. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз

$\left(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\right)+2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+(a+b+c) \ge 4(ab+bc+ca).$ ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(9) олимпиада

Есеп №5. Жібек әртүрлі

$a$ және

$b$ нақты сандарын жасырады, ал Ержан осы сандарды тапқысы келеді. Бір жүрісте Ержан коэффициенттері нақты сандар болатын дәрежесі

$2024$ -ке тең

$P(x)$ көпмүшесін ойлап табады, содан кейін Жібек оған

$P(a) - P(b)$ мәнін айтады. Үш жүрісте Ержан

$a$ және

$b$ сандарын кепілді түрде таба алатынын дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №6.

$BC = 2AB$ болатын

$ABC$ үшбұрышы берілген, ал

$I$ нүктесі іштей сызылған шеңбердің центрі.

$\angle BAC$ бұрышының сыртқы биссектрисасы

$BC$ түзуін

$Y$ нүктесінде қияды.

$YI$ түзуі

$AC$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №7.

$abc=1$ болатындай оң нақты

$a,b,c$ сандары берілген. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз

Есеп №8. Кез келген

$m\ge n \ge 2024$ натурал сандары үшін

$f_{m}(n) = f_{m-n}(m)$ теңдігі орындалатындай барлық

$f:N\rightarrow N$ функцияларын табыңыз. (

$N$ — натурал сандар жиыны,

$f_{0}(k) = k$ және барлық бүтін

$l\ge 1$ үшін

$f_{l}(k) = f(f_{l-1}(k))$ .) ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №9.

$BC = 2AB$ болатын

$ABC$ үшбұрышы берілген, ал

$I$ нүктесі іштей сызылған шеңбердің центрі.

$\angle BAC$ бұрышының сыртқы биссектрисасы

$BC$ түзуін

$Y$ нүктесінде қияды.

$YI$ түзуі

$AC$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №10. Теріс емес нақты

$a,b,c,d$ сандары

$(a-b)(b-c)(c-d)(d-a) \ge a^2+b^2+c^2+d^2 = 12$ шартын қанағаттандырады.

$abcd<1,\!61$ екенін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №11. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышына центрі

$I$ болатын

$\omega$ шеңбері іштей сызылған.

$\omega$ шеңбері

$BC$ ,

$CA$ және

$AB$ қабырғаларын, сәйкесінше,

$D$ ,

$E$ және

$F$ нүктелерінде жанайды.

$ABC$ және

$AEF$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$K$ нүктесінде қиылысады.

$EF$ және

$AK$ түзулері

$X$ нүктесінде қиылысып, ал

$BC$ түзуін, сәйкесінше,

$Y$ және

$Z$ нүктелерінде қияды.

$\omega$ -ға

$Y$ және

$Z$ арқылы өтетін, әрі

$BC$ түзуінен өзге жанама түзулер

$\omega$ -ны, сәйкесінше,

$P$ және

$Q$ нүктелерінде жанайды.

$AP$ және

$KQ$ түзулері

$R$ нүктесінде қиылыссын.

$M$ нүктесі —

$YZ$ кесіндісінің ортасы.

$IR\perp XM$ екенін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №12. Бүтін

$n>1$ саны берілген. Өлшемі

$n\times n$ тақтасы ақ және қара түске шахмат бояуына боялған. Фигура деп тақтаның әртүрлі ұяшықтарынан құралған бос емес жиынды айтамыз. Егер

$F_2$ -ні тақтаның центріне қатысты

$90^\circ$ -қа бірнеше рет бұрып алып, одан кейін параллель тасымалдау арқылы

$F_1$ фигурасын ала алсақ, онда

$F_1$ мен

$F_2$ фигураларын ұқсас фигуралар деп атаймыз. (Кез келген фигура өзіне ұқсас болып есептелінеді.) Егер

$F$ фигурасының кез келген екі

$a,b\in F$ ұяшығы үшін

$c_1 = a$ ,

$c_m = b$ болатындай

$c_1,\ldots,c_m \in F$ ұяшықтар тізбегі табылып, әрі барлық

$1\le i\le m - 1$ үшін

$c_i$ және

$c_{i+1}$ ұяшықтарының ортақ қабырғасы болса, онда

$F$ фигурасын байланысқан фигура деп атаймыз.

$k$ -ның қандай ең үлкен мүмкін мәнінде,

$F_1$ фигурасында ақ түсті ұяшықтар саны қара түсті ұяшықтар санынан артық, ал

$F_2$ фигурасында керісінше, ақ түсті ұяшықтар саны қара түсті ұяшықтар санынан кем болатындай,

$k$ ұяшықтан тұратын кез келген байланысқан

$F$ фигурасы үшін

$F$ -ке ұқсас

$F_1$ және

$F_2$ фигуралары табылады? ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №13. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышына центрі

$I$ болатын

$\omega$ шеңбері іштей сызылған.

$\omega$ шеңбері

$BC$ ,

$CA$ және

$AB$ қабырғаларын, сәйкесінше,

$D$ ,

$E$ және

$F$ нүктелерінде жанайды.

$ABC$ және

$AEF$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$K$ нүктесінде қиылысады.

$EF$ және

$AK$ түзулері

$X$ нүктесінде қиылысып, ал

$BC$ түзуін, сәйкесінше,

$Y$ және

$Z$ нүктелерінде қияды.

$\omega$ -ға

$Y$ және

$Z$ арқылы өтетін, әрі

$BC$ түзуінен өзге жанама түзулер

$\omega$ -ны, сәйкесінше,

$P$ және

$Q$ нүктелерінде жанайды.

$AP$ және

$KQ$ түзулері

$R$ нүктесінде қиылыссын.

$M$ нүктесі —

$YZ$ кесіндісінің ортасы.

$IR\perp XM$ екенін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №14.

$A$ мен

$B$ ойыншылары координаталық жазықтықта келесі ойын ойнайды. Басында

$A$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын нүктеге жаңғақты жасырады, одан кейін

$B$ ойыншысы сол жаңғақты табуға тырысады. Бір жүрісте

$B$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын әртүрлі үш нүкте таңдайды, одан кейін

$A$ ойыншысы сол үш нүктемен қоса жаңғақ орналасқан нүкте бір шеңбердің бойында жатқанын немесе жатпағанын айтады. Саны шекті жүрістер арқылы

$B$ ойыншысы жаңғақты кепілді түрде таба алады ма? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №15.

$A$ мен

$B$ ойыншылары координаталық жазықтықта келесі ойын ойнайды. Басында

$A$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын нүктеге жаңғақты жасырады, одан кейін

$B$ ойыншысы сол жаңғақты табуға тырысады. Бір жүрісте

$B$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын әртүрлі үш нүкте таңдайды, одан кейін

$B$ ойыншысы жаңғақты кепілді түрде таба алады ма? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №16. Центрі

$O$ нүктесі болатын

$\Omega$ шеңберіне дөңес

$A_1C_2B_1B_2C_1A_2$ алтыбұрышы іштей сызылған.

$A_1B_1$ және

$A_2B_2$ сәулелері

$P$ нүктесінде, ал

$A_1C_1$ және

$A_2C_2$ кесінділері

$Q$ нүктесінде қиылысады.

$\Gamma_1$ шеңбері

$OB_1$ және

$OC_1$ түзулерін, сәйкесінше,

$B_1$ және

$C_1$ нүктелерінде жанайды, ал

$\Gamma_2$ шеңбері

$OB_2$ және

$OC_2$ түзулерін, сәйкесінше,

$B_2$ және

$C_2$ нүктелерінде жанайды.

$PQ$ түзуінің бойынан,

$\Gamma_1$ шеңберін

$\Gamma_2$ шеңберіне өткізетін гомотетияның центрі табылатындығын дәлелдеңіз. ( П. Кожевников, Зауытхан А. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №17.

$O$ нүктесі — теңбүйірлі емес сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі, aл

$H$ — осы үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі.

$H$ арқылы өтетін және

$BC$ -ға параллель түзу

$AB, AC$ түзулерін, сәйкесінше,

$A_1, A_2$ нүктелерінде қияды. Дәл осылай

$B_1,B_2,C_1,C_2$ нүктелерін анықтайық.

$AA_1A_2$ ,

$BB_1B_2$ және

$CC_1C_2$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерінің радикал центрі

$OH$ түзуінің бойында жатқанын дәлелдеңіз. (Үш шеңбердің радикал центрі деп, олардың екі екіден алынғандағы шеңберлерінің радикал өстерінің қиылысу нүктесін айтамыз.) ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №18.

$ABC$ (

$AB\neq AC$ ) үшбұрышында

$I$ нүктесі — іштей сызылған шеңбер центрі,

$I_A$ нүктесі —

$BC$ қабырғасын жанайтын іштейсырт сызылған шеңбер центрі,

$\Omega$ — сырттай сызылған шеңбер, ал

$AD$ — биіктік.

$\Omega$ шеңберінде

$M$ нүктесі —

$BAC$ доғасының ортасы, ал

$AL$ — оның диаметрі.

$IL$ және

$I_AD$ түзулері

$P$ , ал

$ID$ және

$I_AL$ түзулері

$Q$ нүктесінде қиылысады.

$S$ нүктесі үшін

$SA = SM$ және

$SP = SL$ теңдіктері орындалады.

$AP, MQ$ және

$I_AS$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №19.

$ABC$ (

$AB\neq AC$ ) үшбұрышында

$I$ нүктесі — іштей сызылған шеңбер центрі,

$I_A$ нүктесі —

$BC$ қабырғасын жанайтын іштейсырт сызылған шеңбер центрі,

$\Omega$ — сырттай сызылған шеңбер, ал

$AD$ — биіктік.

$\Omega$ шеңберінде

$M$ нүктесі —

$BAC$ доғасының ортасы, ал

$AL$ — оның диаметрі.

$IL$ және

$I_AD$ түзулері

$P$ , ал

$ID$ және

$I_AL$ түзулері

$Q$ нүктесінде қиылысады.

$S$ нүктесі үшін

$SA = SM$ және

$SP = SL$ теңдіктері орындалады.

$AP, MQ$ және

$I_AS$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №20.

$2025 \times 2025$ өлшемді тор тақта берілген. Бастапқыда тақтадағы әр бірлік ұяшықтың әр қабырғасы қара түске боялған. Бір жүрісте тақтада бірнеше ұяшықтан тұратын кез келген тіктөртбұрышты таңдап алып, оның барлық қабырғаларын қызыл түске бояуға болады (бір ұяшықтың бір қабырғасын бірнеше рет бояуға рұқсат). Барлық бірлік ұяшықтарының әр қабырғасы қызыл түсті болуы үшін, кемінде неше жүріс жасау керек? ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1) олимпиада