Зауытхан А.


Есеп №1. \q6 Теңбүйірлі емес сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. $BHC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге $H$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $AB$ және $AC$ түзулерін, сәйкесінше, $Q$ және $P$ нүктелерінде қияды. $ABC$ және $APQ$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері екінші рет $K$ нүктесінде қиылысады. $APQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге $A$ және $K$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар $T$ нүктесінде қиылысады. $TH$ түзуі $BC$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(7) олимпиада
Есеп №2. Жазықтықта ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын 2000 нүктеден тұратын $G$ графы берілген. Олардың 1000-ы қара, ал қалған 1000-ы қызыл түске боялған. 100 қызыл нүкте дөңес 100-бұрыштың төбелері болатындай, ал қалған 1900 нүкте осы 100-бұрыштың ішінде жататындай 100 қызыл нүкте табылатыны белгілі. Қызыл нүктелерді қосатын кез келген кесінді қара нүктелерді қосатын ешбір кесіндімен қиылыспайтындай ұштары бір түсті бірнеше кесінділерді жүргізуге болатынын, және $G$-ның әрбір төбесінен сол түске боялған кез келген төбеге жете алатындай, бірнеше кесінді жүргізе алатынымызды дәлелдеңіз (графтың қабырғалары — бұл жүргізілген кесінділер). ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. Жазықтықта ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын 2000 нүктеден тұратын $G$ графы берілген. Олардың 1000-ы қара, ал қалған 1000-ы қызыл түске боялған. 100 қызыл нүкте дөңес 100-бұрыштың төбелері болатындай, ал қалған 1900 нүкте осы 100-бұрыштың ішінде жататындай 100 қызыл нүкте табылатыны белгілі. Қызыл нүктелерді қосатын кез келген кесінді қара нүктелерді қосатын ешбір кесіндімен қиылыспайтындай ұштары бір түсті бірнеше кесінділерді жүргізуге болатынын, және $G$-ның әрбір төбесінен сол түске боялған кез келген төбеге жете алатындай, бірнеше кесінді жүргізе алатынымызды дәлелдеңіз (графтың қабырғалары — бұл жүргізілген кесінділер). ( Зауытхан А. )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №4. $abc=1$ болатындай оң нақты $a,b,c$ сандары берілген. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз \[\left(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\right)+2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+(a+b+c) \ge 4(ab+bc+ca).\] ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(9) олимпиада
Есеп №5. Жібек әртүрлі $a$ және $b$ нақты сандарын жасырады, ал Ержан осы сандарды тапқысы келеді. Бір жүрісте Ержан коэффициенттері нақты сандар болатын дәрежесі $2024$-ке тең $P(x)$ көпмүшесін ойлап табады, содан кейін Жібек оған $P(a) - P(b)$ мәнін айтады. Үш жүрісте Ержан $a$ және $b$ сандарын кепілді түрде таба алатынын дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Есеп №6. $BC = 2AB$ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген, ал $I$ нүктесі іштей сызылған шеңбердің центрі. $\angle BAC$ бұрышының сыртқы биссектрисасы $BC$ түзуін $Y$ нүктесінде қияды. $YI$ түзуі $AC$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №7. $abc=1$ болатындай оң нақты $a,b,c$ сандары берілген. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз \[\left(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\right)+2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+(a+b+c) \ge 4(ab+bc+ca).\] ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №8. Кез келген $m\ge n \ge 2024$ натурал сандары үшін $f_{m}(n) = f_{m-n}(m)$ теңдігі орындалатындай барлық $f:N\rightarrow N$ функцияларын табыңыз. ($N$ — натурал сандар жиыны, $f_{0}(k) = k$ және барлық бүтін $l\ge 1$ үшін $f_{l}(k) = f(f_{l-1}(k))$.) ( Зауытхан А. )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №9. $BC = 2AB$ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген, ал $I$ нүктесі іштей сызылған шеңбердің центрі. $\angle BAC$ бұрышының сыртқы биссектрисасы $BC$ түзуін $Y$ нүктесінде қияды. $YI$ түзуі $AC$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №10.  Теріс емес нақты $a,b,c,d$ сандары $(a-b)(b-c)(c-d)(d-a) \ge a^2+b^2+c^2+d^2 = 12$ шартын қанағаттандырады. $abcd<1,\!61$ екенін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №11. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышына центрі $I$ болатын $\omega$ шеңбері іштей сызылған. $\omega$ шеңбері $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларын, сәйкесінше, $D$, $E$ және $F$ нүктелерінде жанайды. $ABC$ және $AEF$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $K$ нүктесінде қиылысады. $EF$ және $AK$ түзулері $X$ нүктесінде қиылысып, ал $BC$ түзуін, сәйкесінше, $Y$ және $Z$ нүктелерінде қияды. $\omega$-ға $Y$ және $Z$ арқылы өтетін, әрі $BC$ түзуінен өзге жанама түзулер $\omega$-ны, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелерінде жанайды. $AP$ және $KQ$ түзулері $R$ нүктесінде қиылыссын. $M$ нүктесі — $YZ$ кесіндісінің ортасы. $IR\perp XM$ екенін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №12. Бүтін $n>1$ саны берілген. Өлшемі $n\times n$ тақтасы ақ және қара түске шахмат бояуына боялған. Фигура деп тақтаның әртүрлі ұяшықтарынан құралған бос емес жиынды айтамыз. Егер $F_2$-ні тақтаның центріне қатысты $90^\circ$-қа бірнеше рет бұрып алып, одан кейін параллель тасымалдау арқылы $F_1$ фигурасын ала алсақ, онда $F_1$ мен $F_2$ фигураларын ұқсас фигуралар деп атаймыз. (Кез келген фигура өзіне ұқсас болып есептелінеді.) Егер $F$ фигурасының кез келген екі $a,b\in F$ ұяшығы үшін $c_1 = a$, $c_m = b$ болатындай $c_1,\ldots,c_m \in F$ ұяшықтар тізбегі табылып, әрі барлық $1\le i\le m - 1$ үшін $c_i$ және $c_{i+1}$ ұяшықтарының ортақ қабырғасы болса, онда $F$ фигурасын байланысқан фигура деп атаймыз. $k$-ның қандай ең үлкен мүмкін мәнінде, $F_1$ фигурасында ақ түсті ұяшықтар саны қара түсті ұяшықтар санынан артық, ал $F_2$ фигурасында керісінше, ақ түсті ұяшықтар саны қара түсті ұяшықтар санынан кем болатындай, $k$ ұяшықтан тұратын кез келген байланысқан $F$ фигурасы үшін $F$-ке ұқсас $F_1$ және $F_2$ фигуралары табылады? ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №13. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышына центрі $I$ болатын $\omega$ шеңбері іштей сызылған. $\omega$ шеңбері $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларын, сәйкесінше, $D$, $E$ және $F$ нүктелерінде жанайды. $ABC$ және $AEF$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $K$ нүктесінде қиылысады. $EF$ және $AK$ түзулері $X$ нүктесінде қиылысып, ал $BC$ түзуін, сәйкесінше, $Y$ және $Z$ нүктелерінде қияды. $\omega$-ға $Y$ және $Z$ арқылы өтетін, әрі $BC$ түзуінен өзге жанама түзулер $\omega$-ны, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелерінде жанайды. $AP$ және $KQ$ түзулері $R$ нүктесінде қиылыссын. $M$ нүктесі — $YZ$ кесіндісінің ортасы. $IR\perp XM$ екенін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №14. $A$ мен $B$ ойыншылары координаталық жазықтықта келесі ойын ойнайды. Басында $A$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын нүктеге жаңғақты жасырады, одан кейін $B$ ойыншысы сол жаңғақты табуға тырысады. Бір жүрісте $B$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын әртүрлі үш нүкте таңдайды, одан кейін $A$ ойыншысы сол үш нүктемен қоса жаңғақ орналасқан нүкте бір шеңбердің бойында жатқанын немесе жатпағанын айтады. Саны шекті жүрістер арқылы $B$ ойыншысы жаңғақты кепілді түрде таба алады ма? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №15. $A$ мен $B$ ойыншылары координаталық жазықтықта келесі ойын ойнайды. Басында $A$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын нүктеге жаңғақты жасырады, одан кейін $B$ ойыншысы сол жаңғақты табуға тырысады. Бір жүрісте $B$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын әртүрлі үш нүкте таңдайды, одан кейін $A$ ойыншысы сол үш нүктемен қоса жаңғақ орналасқан нүкте бір шеңбердің бойында жатқанын немесе жатпағанын айтады. Саны шекті жүрістер арқылы $B$ ойыншысы жаңғақты кепілді түрде таба алады ма? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада