қазақша
русскийП. Кожевников
Задача №1. Даны натуральные числа $a$ и $b$, причем $a < 1000$. Докажите, что если $a^{21}$ делится на $b^{10}$, то $a^2$ делится на $b$. ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$, $AC \parallel DE$, $CE \perp BC$. Докажите, что $EC$ — биссектриса угла $BED$. ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ нашлись точки $K$ и $L$ такие, что $\angle BAK = \angle CAL = 90^{\circ}$. Докажите, что середина высоты, опущенной из вершины $A$, середина отрезка $KL$ и центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежат на одной прямой. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ нашлись точки $K$ и $L$ такие, что $\angle BAK = \angle CAL = 90^{\circ}$. Докажите, что середина высоты, опущенной из вершины $A$, середина отрезка $KL$ и центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежат на одной прямой. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5. В каждую клетку таблицы размером $6\times 6$ записали некоторое положительное число (не обязательно целое). Оказалось, что в любой фигурке из четырёх клеток таблицы в форме буквы «Г» произведение всех стоящих там чисел равно 100. В левом верхнем углу стоит число 2. Какое число стоит в правом верхнем углу (укажите все возможности)? ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6. В окружность $\Omega$ с центром $O$ вписан выпуклый шестиугольник $A_1C_2B_1B_2C_1A_2$. Лучи $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются в точке $P$, а отрезки $A_1C_1$ и $A_2C_2$ — в точке $Q$. Окружность $\Gamma_1$ касается прямых $OB_1$ и $OC_1$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно, а окружность $\Gamma_2$ касается прямых $OB_2$ и $OC_2$ в точках $B_2$ и $C_2$ соответственно. Докажите, что существует гомотетия с центром на прямой $PQ$, переводящая $\Gamma_1$ в $\Gamma_2$. ( П. Кожевников, Зауытхан А. )
комментарий/решение(3) олимпиада