П. Кожевников
Задача №1. Даны натуральные числа a и b, причем a<1000. Докажите, что если a21 делится на b10, то a2 делится на b. ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Выпуклый пятиугольник ABCDE таков, что AB∥CD, BC∥AD, AC∥DE, CE⊥BC. Докажите, что EC — биссектриса угла BED. ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. На стороне BC треугольника ABC нашлись точки K и L такие, что ∠BAK=∠CAL=90∘. Докажите, что середина высоты, опущенной из вершины A, середина отрезка KL и центр описанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4. На стороне BC треугольника ABC нашлись точки K и L такие, что ∠BAK=∠CAL=90∘. Докажите, что середина высоты, опущенной из вершины A, середина отрезка KL и центр описанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5. В каждую клетку таблицы размером 6×6 записали некоторое положительное число (не обязательно целое). Оказалось, что в любой фигурке из четырёх клеток таблицы в форме буквы «Г» произведение всех стоящих там чисел равно 100. В левом верхнем углу стоит число 2. Какое число стоит в правом верхнем углу (укажите все возможности)? ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6. В окружность Ω с центром O вписан выпуклый шестиугольник A1C2B1B2C1A2. Лучи A1B1 и A2B2 пересекаются в точке P, а отрезки A1C1 и A2C2 — в точке Q. Окружность Γ1 касается прямых OB1 и OC1 в точках B1 и C1 соответственно, а окружность Γ2 касается прямых OB2 и OC2 в точках B2 и C2 соответственно. Докажите, что существует гомотетия с центром на прямой PQ, переводящая Γ1 в Γ2. ( П. Кожевников, Зауытхан А. )
комментарий/решение(3) олимпиада