Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2014 год

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ нашлись точки $K$ и $L$ такие, что $\angle BAK = \angle CAL = 90^{\circ}$. Докажите, что середина высоты, опущенной из вершины $A$, середина отрезка $KL$ и центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежат на одной прямой. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )

Комментарий/решение

Пусть $AM$ - диаметр $(ABC)$, $H$ - основание высоты с точки $A$, и точка $A'$ - отражение точки $A$ относительно середины $KL$. По сути достаточно доказать что $H, A', M$ лежат на одной прямой. А это справедливо, потому что $\triangle BMC$ и $\triangle LA'K$ гомотетичны с центром в точке $H$. То что $LA' \parallel BM$ и $KA' \parallel CM$ следует из того что $AM$ - диаметр $(ABC)$ и $AKA'L$ - параллелограмм. А то что $H$ - центр гомотетии следует из того что $LH \cdot HC = AH^2 = BH \cdot HK \Rightarrow \frac{HC}{HK} = \frac{HB}{HL}$. Значит $H, A', M$ лежат на одной прямой $\Rightarrow$ середина высоты, опущенной из вершины $A$, середина отрезка $KL$ и центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежат на одной прямой. $\square$