Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2014 год


Задача №1.  Четыре последовательных трехзначных числа делят с остатком соответственно на четыре последовательных двузначных числа. Какое наименьшее число разных остатков может получиться? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  На стороне BC треугольника ABC нашлись точки K и L такие, что BAK=CAL=90. Докажите, что середина высоты, опущенной из вершины A, середина отрезка KL и центр описанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение
Задача №3.  Положительные числа a, b и c удовлетворяют условию 1a+1b+1c=3. Докажите неравенство 1a3+1+1b3+1+1c3+132. ( Н. Александров )
комментарий/решение(7)
Задача №4.  На бумаге с шестиугольными клеточками отметили "параллелограмм" k× клеток (он состоит из k горизонтальных рядов по клеток в каждом; для примера на рисунке изображен параллелограмм 3×4).

В этом параллелограмме выбрали набор непересекающихся сторон клеток, которые разбивают все узлы на пары. Сколькими способами это можно сделать? ( Т. Дошилич )
комментарий/решение
Задача №5.  На столе лежит чётное число карточек, на каждой из которых написано натуральное число. Пусть ak — количество карточек, на которых написано число k. Оказалось, что anan1+an20 для каждого натурального n. Докажите, что карточки можно разложить по парам, в каждой из которых числа отличаются на 1. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  На плоскости расположено n чёрных и n белых квадратов, каждый из которых может быть переведен в любой другой параллельным переносом. Каждые два квадрата разного цвета имеют общую точку. Докажите, что существует точка, принадлежащая хотя бы n квадратам. ( В. Дольников )
комментарий/решение
Задача №7.  Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке L, а продолжения стороны BC — в точке K. Прямая DK пересекает диагональ AC в точке X; прямая BX пересекает медиану CC1 треугольника ABC в точке Y. Докажите, что прямая YL, медиана BB1 треугольника ABC и его же биссектриса CC пересекаются в одной точке. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №8.  Пусть a, b, c — попарно взаимно простые натуральные числа. Обозначим через g(a,b,c) наибольшее натуральное число, не представимое в виде xa+yb+zc при натуральных x, y, z. Докажите, что g(a,b,c)2abc. ( М. Иванов )
комментарий/решение