Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2014 год
Задача №1. Четыре последовательных трехзначных числа делят с остатком соответственно на четыре последовательных двузначных числа. Какое наименьшее число разных остатков может получиться?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. На стороне BC треугольника ABC нашлись точки K и L такие, что ∠BAK=∠CAL=90∘. Докажите, что
середина высоты, опущенной из вершины A, середина отрезка KL и центр описанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой.
(
П. Кожевников,
А. Акопян,
С. Боев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Положительные числа a, b и c удовлетворяют условию 1a+1b+1c=3. Докажите неравенство
1√a3+1+1√b3+1+1√c3+1≤3√2.
(
Н. Александров
)
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №4. На бумаге с шестиугольными клеточками отметили "параллелограмм"
k×ℓ клеток
(он состоит из k горизонтальных рядов по ℓ клеток в каждом;
для примера на рисунке изображен параллелограмм 3×4).
В этом параллелограмме выбрали набор непересекающихся сторон клеток,
которые разбивают все узлы на пары. Сколькими способами это можно сделать?
(
Т. Дошилич
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. На столе лежит чётное число карточек, на каждой из которых написано натуральное число. Пусть ak — количество карточек, на которых написано число k. Оказалось, что
an−an−1+an−2−…≥0 для каждого натурального n. Докажите, что карточки можно разложить
по парам, в каждой из которых числа отличаются на 1.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. На плоскости расположено n чёрных и n белых квадратов, каждый из которых может быть переведен в любой другой параллельным переносом. Каждые два квадрата разного цвета имеют общую точку.
Докажите, что существует точка, принадлежащая хотя бы n квадратам.
(
В. Дольников
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AB в точке L, а продолжения стороны BC — в точке K.
Прямая DK пересекает диагональ AC в точке X; прямая BX пересекает
медиану CC1 треугольника ABC в точке Y. Докажите, что прямая
YL, медиана BB1 треугольника ABC и его же биссектриса CC′
пересекаются в одной точке.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Пусть a, b, c — попарно взаимно простые натуральные числа.
Обозначим через g(a,b,c) наибольшее натуральное число,
не представимое в виде xa+yb+zc при натуральных x, y, z.
Докажите, что g(a,b,c)≥√2abc.
(
М. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение