Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2014 жыл
Оң a, b, c сандары 1a+1b+1c=3 шартын қанағаттандырса, келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: 1√a3+1+1√b3+1+1√c3+1≤3√2.
(
Н. Александров
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
1√a3+1+1√b3+1+1√c3+1≤3√2⇒
⇒B=(1√a3+1+1√b3+1+1√c3+1)2≤92⇒
⇒(1a+1+1b+1+1c+1)(1a2−a+1+1a2−a+1+1a2−a+1)≥(1√a3+1+1√b3+1+1√c3+1)2
1a2−a+1≤1a 1a+1≤1+1a4⇒
⇒B≤14(1a+1b+1c+3)(1a+1b+1c)=92
1√a3+1≤1√2a√a=4√a3√2a≤a+a+a+14√2a=3a+14√2a=34√2+14√2⋅1a
1√a3+1+1√b3+1+1√c3+1≤34√2+34√2+34√2+14√2⋅(1a+1b+1c)=3√2
a≤b≤c⟺1a≥1b≥1c⟺3=1a+1b+1c≥1a+1a+1a=3a⇒c≥b≥a≥1
∀a≥1:a3+1≥a2+a⟺1√a3+1≤1√a2+a≤1√2
⇒1√a3+1+1√b3+1+1√c3+1≤1√2+1√2+1√2=3√2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.