Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2014 жыл

Есеп №1. Қатар келе жатқан, төрт үш таңбалы сандар, сәйкесінше қатар келе жатқан төрт екі таңбалы сандарға қалдықпен бөлінеді.Ең кем дегенде қанша әртүрлі қалдық қалуы мүмкін? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$\angle BAK=\angle CAL=90{}^\circ$ болатындай,

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ қабырғасында

$K$ және

$L$ нүктелері табылды.

$A$ төбесінен түсірілген биіктіктің ортасы,

$KL$ кесіндісінің ортасы және

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі бір түзудің бойында жатанынын дәлелдеңіз. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Оң

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$ шартын қанағаттандырса, келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{3}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{b}^{3}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{c}^{3}}+1}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$ . ( Н. Александров )
комментарий/решение(7)

Есеп №4. Алтыбұраышты торшалар салынған қағазда,

$k\times \ell$ торшадан тұратын «параллелограм» белгіленсін (әр жолда

$\ell$ торшасы бар

$k$ горизонтал жолдардан тұрады; мысал ретінде суретте

$3\times 4$ параллелограмы көрсетілген).

Осы параллелограмда, барлық түйіндерді жұптарға бөлетін, қиылыспайтын торшалар жиыны жасалды. Неше әдіспен осындай жиындарды жасауға болады? ( Т. Дошилич )
комментарий/решение

Есеп №5. Үстелде, натурал сан жазылған, барлығы жұп мөлшердегі карточкалар жатыр.

$k$ саны жазылған карточкалар саны

${{a}_{k}}$ болсын. Әрбір натурал

$n$ үшін,

${{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}}-\ldots\ge 0$ екені анықталды. Екі карточканың сан айырмашылығы 1 болатындай, карточкаларды жұптарға бөлуге болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Жазықтықта, параллель көшіріле алатын,

$n$ қара және

$n$ ақ шаршылар орналасқан. Түстері әртүрлі әрбір екі шаршыда, бір ортақ нүкте бар. Кем-дегенде

$n$ шаршыларға ортақ, бір нүкте бар екенін дәлелдеңіз. ( В. Дольников )
комментарий/решение

Есеп №7.

$ABCD$ параллелограмы берілсін.

$ABC$ үшбұрышына іштейсырт салынған шеңбер

$AB$ қабырғасымен

$L$ нүктесінде жанасады, ал

$BC$ қабырғасының жалғасымен

$K$ нүктесінде жанасады.

$DK$ түзуі,

$AC$ диагональін

$X$ нүктесінде қияды, ал

$BX$ түзуі

$ABC$ үшбұрышының

$C{{C}_{1}}$ медианасын

$Y$ нүктесінде қияды.

$YL$ түзуі,

$ABC$ үшбұрышының

$B{{B}_{1}}$ медианасы және осы үшбұрыштың

$CC'$ биссектрисасы бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №8.

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары өзара жай, натурал сандар болсын.

$x$ ,

$y$ ,

$z$ сандары үшін,

$xa+yb+zc$ түрінде жазыла алмайтын ең үлкен натурал санды

$g\left( a,b,c \right)$ деп белгілейік.

$g\left( a,b,c \right)\ge \sqrt{2abc}$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Иванов )
комментарий/решение