М. Иванов

Задача №1. В распоряжении грузчика есть вагон и маленькая тележка. Вагон выдерживает груз весом до

$1000$ кг, а тележка — всего

$1$ кг. На складе лежит несколько (конечное число) мешков с песком. Известно, что их общая масса больше, чем

$1001$ кг, а каждый мешок весит не больше

$1$ кг. Какую наибольшую массу песка грузчик заведомо сможет загрузить в вагон и маленькую тележку, независимо от того, какие именно мешки лежат на складе? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №2. В распоряжении грузчика есть две тележки: одна выдерживает 8 кг, а другая —

$9$ кг. На складе лежит несколько (конечное число) мешков с песком. Известно, что их общая масса больше, чем

$17$ кг, а каждый мешок весит не больше 1 кг. Какую наибольшую массу песка грузчик заведомо сможет загрузить на эти две тележки, независимо от того, какие именно мешки лежат на складе? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №3. Карточки с номерами от 1 до

$2^n$ раздают

$k$ детям,

$1\leq k\leq 2^n$ , так чтобы каждый ребенок получил хотя бы одну карточку. Докажите, что количество способов раздать карточки делится на

$2^{k-1}$ , но не делится на

$2^k$ . ( М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №4. Пусть

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — попарно взаимно простые натуральные числа. Обозначим через

$g(a, b, c)$ наибольшее натуральное число, не представимое в виде

$xa+yb+zc$ при натуральных

$x$ ,

$y$ ,

$z$ . Докажите, что

$g(a, b, c)\geq \sqrt{2abc}.$ ( М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №5. Для каждого

$n$ представим число

$n!$ в виде

$ab^2$ , где

$a$ свободно от квадратов. Докажите, что для любого

$\varepsilon > 0$ при всех достаточно больших

$n$ выполнено неравенство

$2^{(1-\varepsilon)n} < a < 2^{(1+\varepsilon)n}$ . ( М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №6. Квадратный трехчлен

$P(x)$ , имеющий два вещественных корня, для всех

$x$ удовлетворяет неравенству

$P(x^3+x)\geq P(x^2+1)$ . Найдите сумму корней трехчлена

$P(x)$ . ( А. Голованов, К. Кохась, М. Иванов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №7. На плоскости отмечено

$n$ точек. Если провести серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему любые две отмеченные точки, то с одной стороны от него лежит одна отмеченная точка, а с другой стороны от него —

${n-1}$ отмеченная точка (на самом серединном перпендикуляре отмеченных точек нет). Каково наибольшее возможное значение

$n$ ? ( М. Иванов )
комментарий/решение(1) олимпиада