М. Иванов

Есеп №1. Жүк тиеушіде бір вагон және кішкене арба бар. Вагон 1000 кг жүкті, ал арба 1 кг жүкті көтере алады. Қоймада бірнеше (шектеулі), құм толтырылған қапшықтар бар. Олардың барлығының салмағы 1001 килограмнан артық, ал әрбір қапшық 1 килограмнан аспайтыны белгілі. Қоймадағы жатқан қапшықтардың қандай екеніне байланыссыз, жүк тиеуші, вагон мен арбаға ең көп дегенде қанша килограмм құм тией алады? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №2. Жүк тиеушіде 8 кг жүкке және 9 кг жүкке арналған арбалар бар. Қоймада құм толтырылған бірнеше (шектеулі) қапшықтар жатыр. Осы қапшықтардың барлығының салмағы 17 килограмнан артық және әрбір қапшық 1 килограмнан аспайтыны белгілі. Қоймада қандай қапшықтардың жатқанына байланыссыз, жүк тиеуші осы екі арбаға ең көп дегенде қанша килограмм құмды тией алады? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №3. Әрбір бала кем-дегенде бір карточка алатындай,

$k$ балаға,

$1\le k\le {{2}^{n}}$ , 1-ден

${{2}^{n}}$ -не дейін нөмірленген карточкалар таратылды. Карточкаларды тарату әдістерінің саны

${{2}^{k-1}}$ -не бөлінетіні, алайда

${{2}^{k}}$ -не бөлінбейтінін дәлелдеңіз. ( М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №4.

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары өзара жай, натурал сандар болсын.

$x$ ,

$y$ ,

$z$ сандары үшін,

$xa+yb+zc$ түрінде жазыла алмайтын ең үлкен натурал санды

$g\left( a,b,c \right)$ деп белгілейік.

$g\left( a,b,c \right)\ge \sqrt{2abc}$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №5.

$a$ саны квадраттан бос болатындай, әрбір

$n$ үшін

$n!$ санын

$a{{b}^{2}}$ түрінде көрсетейік. Кез-келген

$\varepsilon > 0$ үшін, жеткілікті түрде үлкен

$n$ үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіз:

${{2}^{(1-\varepsilon )n}} < a < {{2}^{(1+\varepsilon )n}}$ . ( М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №6. Екі нақты түбірі бар,

$P\left( x \right)$ квадрат үшмүшесі, барлық

$x$ үшін

$P\left( {{x}^{3}}+x \right)\ge P\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ теңсіздігін қанағаттандырады.

$P\left( x \right)$ үшмүшесінің түбірлерінің қосындысын табыңыз. ( А. Голованов, К. Кохась, М. Иванов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №7. Жазықтықта

$n$ нүкте белгіленген. Кез келген екі белгіленген нүктені қосатын кесіндіге орта перпендикуляр жүргізсе, онда оның бір жағында бір белгіленген нүкте, ал екінші жағында

${n-1}$ белгіленген нүкте жататыны, ал орта перпендикулярдың бойында ешқандай нүкте жоқ екені белгілі.

$n$ санының ең үлкен мүмкін мәні қандай? ( М. Иванов )
комментарий/решение(1) олимпиада