Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2012 год

Квадратный трехчлен $P(x)$, имеющий два вещественных корня, для всех $x$ удовлетворяет неравенству $P(x^3+x)\geq P(x^2+1)$. Найдите сумму корней трехчлена $P(x)$. ( А. Голованов, К. Кохась, М. Иванов )

Комментарий/решение

Пусть $P(x) = ax^2 + bx + c$. Заметим, что $a>0$, так как в противном случае при каком-то большом $x$, $P(x)$ будет убывать, а $P(x^3+x) \geq P(x^2+1)$. Тогда если $x_{1}, x_{2}$ корни, то $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$. Заметим, что $P(x)=a(x-\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c$. Тогда если $x_{0}$ точка в которой $P(x)$ минимален, то $x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$. Покажем, что $x_{0}=2$. Пусть это не так, и $y \neq 2$ минимальная точка. Тогда $x^3+x=y, \, x \neq 1, \, x^3 + x \neq x^2 + 1 \Rightarrow P(y) = P(x^3+x) \geq P(x^2+1)$, что невозможно. Значит $x_{0} = 2 \Rightarrow x_{1}+x_{2}=4$.

$P(x)=ax^2+bx+c$

Определим:

$f(x)=P(x^3+x)-P(x^2+1) \Longrightarrow f’(x)=P’(x^3+x)(3x^2+1)-P’(x^2+1)(2x)$

Так как $f(x) \geq 0$ для всех $x$, и так как она достигает своего минимума в точке $(1,0)$ то есть $f(1)=0$ значит $f’(1)=0$

$f’(1)=4P’(2)-2P’(2)=2P’(2)=0 \Longrightarrow P’(2)=0$

$P’(x)=2ax+b \Longrightarrow P’(2)=4a+b=0$

И по теореме виета $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=4$.