Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2012 год


Квадратный трехчлен P(x), имеющий два вещественных корня, для всех x удовлетворяет неравенству P(x3+x)P(x2+1). Найдите сумму корней трехчлена P(x). ( А. Голованов, К. Кохась, М. Иванов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года 2 месяца назад #

Пусть P(x)=ax2+bx+c. Заметим, что a>0, так как в противном случае при каком-то большом x, P(x) будет убывать, а P(x3+x)P(x2+1). Тогда если x1,x2 корни, то x1+x2=ba. Заметим, что P(x)=a(xb2a)2b24a+c. Тогда если x0 точка в которой P(x) минимален, то x0=x1+x22. Покажем, что x0=2. Пусть это не так, и y2 минимальная точка. Тогда x3+x=y,x1,x3+xx2+1P(y)=P(x3+x)P(x2+1), что невозможно. Значит x0=2x1+x2=4.