Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2012 год
Квадратный трехчлен P(x), имеющий два вещественных корня, для всех x удовлетворяет неравенству
P(x3+x)≥P(x2+1). Найдите сумму корней трехчлена P(x).
(
А. Голованов,
К. Кохась,
М. Иванов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть P(x)=ax2+bx+c. Заметим, что a>0, так как в противном случае при каком-то большом x, P(x) будет убывать, а P(x3+x)≥P(x2+1). Тогда если x1,x2 корни, то x1+x2=−ba. Заметим, что P(x)=a(x−b2a)2−b24a+c. Тогда если x0 точка в которой P(x) минимален, то x0=x1+x22. Покажем, что x0=2. Пусть это не так, и y≠2 минимальная точка. Тогда x3+x=y,x≠1,x3+x≠x2+1⇒P(y)=P(x3+x)≥P(x2+1), что невозможно. Значит x0=2⇒x1+x2=4.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.