Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур заключительного этапа

На плоскости отмечено $n$ точек. Если провести серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему любые две отмеченные точки, то с одной стороны от него лежит одна отмеченная точка, а с другой стороны от него — ${n-1}$ отмеченная точка (на самом серединном перпендикуляре отмеченных точек нет). Каково наибольшее возможное значение $n$? ( М. Иванов )

Комментарий/решение

$Ответ: 5$

$Решение: Оценка.$ Пусть $AB$ - кратчайший отрезок между отмеченными точками.Рассмотрим любые две из оставшихся точек: $C$ и $D$.Если провести серединный перпендикуляр к $AC$, то $A$ и $B$ окажутся от него по одну сторону, а $C$ - по другую. Тогда $D$ окажется в той же полуплоскости , что и $A$, откуда $AD<CD$.Анологично доказываются неравенства $AC<CD, BD<CD$ и $BC<CD.$ Следовательно, $\angle CAD > 60^\circ$ и $\angle CBD > 60^\circ$ .Далее ,проведём серединный перпендикуляр к $AB$. Не умаляя общности, пусть все отмеченные точки, кроме $A$, находятся по одну сторону относительно этого перпендикуляра. Тогда проведём из $A$ лучи во все $n-2$ отмеченные точки,кроме $A$ и $B$, и упорядочим эти лучи по часовой стрелке. Получится $n-3$ угла.По доказанному выше, все эти углы больше $60^\circ$. Но все вместе они образуют угол , меньший развернутого, поскольку все проведённые лучи лежат в одной полуплоскости относительно прямой , проходящей через $A$ перпендикулярно $AB$. Поэтому $n-3\leq 2$, а $n\leq5$.

$Пример.$ Точки $(0,7),$ $(2,3),$ $(3,4),$ $(5,6),$ $(7,0)$ на координатной плоскости.